[A:46v]

21 Repastinatio dictorum

p^a

Comperire quantitatem magnitudine rationalem.

Cum posita quantitas denominetur ab unitate, omnis iam rationalis magnitudine denominabitur a quovis numero, qui, quoniam semper unitati commensurabilis est, iam et denominata, per diffinitionem magnitudine rationalis erit. 1 2 3

2^a

22 Comperire quantitatem potentia, cubo, vel secundo quadrato tantum rationalem.

Ea erit radix numeri non quadrati, non cubi, non bisquadrati, ut r.5 // r.cubica 9 // rr.15. Verum radix radicis medialis appellatur.

3^a

Comperire quantitatem medialem.

23 Inventa est in praecedenti, nam eius secundum quadratum dumtaxat notum est, ut rr.7 et caetera.

4^a

Comperire singulas binomiorum species.

Oportet reperire numeros membrorum binomium componentium quantitatibus adcommodatos. Igitur fac ut in omni binomio quadrata membrorum non sint in proportione numerorum quadratorum. Item ut in primis tribus speciebus excessus quadratorum ad quadratum maioris membri, sit sicut numerus quadratus ad numerum quadratum. 24 Item ut in prima specie trium priorum maius membrum sit magnitudine rationale, in secunda minus, in tertia neutrum, in prima autem specie trium posteriorum, maior quam portio sit magnitudine rationale, in secunda minor, in tertia neutra.

5^a

Comperire singulas species.

25 Comperiantur per praecedentem singulae binomiorum species. Nam in singulis ipsae membrorum differentiae, per diffinitionem erunt singulae quaesitae apotomes species. Subiiciam pro hoc et pro praecedenti problemate, in numeraris terminis, exempla.

26

Binomia . pum 4 r. 12 2um r.12 3 3um r.27 r.24 4um 4 r.28 5um r.5 2 6um r.7 r.3

27

Apotomae . pa 4 r.12 2a r.12 3 3a r.27 r.24 4a 4 r.8 5a r.5 2 6a r.7 r.3

28

6^a

Comperire binomium vel apotomen.

Comperiatur per praemissam binomium primum. Nam eius per 26^am indagata erit aliquid binomium, et similiter apotomes primae [A:47r] radix per 26^am inventa erit aliqua ex apotomis.

Corollarium

29 Unde cum omne binomium in se ductum producat binomium primum et omnis apotome in se multiplicata producat apotomen primam, non est necesse ut in binomio vel apotome, quae multiplicatur, ut membrum maius superior sit quam minus in quadrato quantitatis sibi commensurabilis. Nam talis conditio tribus primis speciebus solum¹⁷ peculiaris est.

7^a

Comperire bimediale prius.

30 Exponantur membra binomii cuiusque, ut puta primi, a scilicet 4, b autem r.12 per antepraemissam et intersit ipsis media proportionalis c scilicet rr.192. Deinde sicut est a ad c in ea proportione sit bad d eritque d rr.108. Sic enim c d erunt membra bimediale prius componentia. Namque sicut a b ad invicem, ita c d ad invicem sunt potentia tantum¹⁸ commensurabiles quantitates. Item 192 non est numerus quadratus neque 108 numerus quadratus et ideo tam rr.192 quam rr.108 est quantitas medialis. Item earum productum est rr.20736, hoc est 12 rationale quadratum scilicet ipsius b. 31 Item aggregatum ipsorum r.192 et r.108 quae sunt quadrata membrorum faciunt r.588 quod est mediale, et idcirco quadratum huius bimembris quantitatis est r.588¹⁹ 24 quod est binomium secundum.

Productum ex c in d r.20736 hoc est 12

cd bimediale primum.

Eius quadratum r.588 24, quod est binomium 2^um.

32 Adhuc nota quod sicut in ab binomio primo a potentior, quam b in quadrato quantitatis sibi commensurabilis, ita fit in cd bimediali, propter proportionalitatem membrorum, quae tamen conditio non est necessaria in bimediali.

Ut, si, exempli gratia, sumpsissem ab binomium 4^um scilicet 4 r.8 similiter comperissem cd rr.128 rr.32 [A:47v] bimediale primum. Nam productum horum membrorum rr.4096, hoc est 8, et eius quadratum r.288 16, quod est binomium secundum. 33 Cum caeteris proprietatibus memoratis, excepta dicta conditione, quae non est necessaria. Similiter²⁰ si sumpsissem²¹ quodlibet binomium.

8^a

Comperire residuum mediale primum.

Procedam sicut in praemissa, et comperiam membra bimedialis primi. Nam earum excessus, per abscisionem erit residuum quaesitum, cum iisdem penitus membrorum proprietatibus.

34 Sic residuum mediale primum rr.192 rr.108 itemque rr.128 rr.32 et illius quidem quadratum r.588 24. Huius quadratum r.288 16 utrumque apotome Huius secundae speciei.

Productum ex c in d rr. 4096 hoc est 8

cd bimediale primum

Eius r.288 16, quod est binomium 2^um.

9^a

Comperire bimediale posterius.

35 Exponantur abc magnitudines potentia tantum rationales et in ea solum commensurabiles, sintque a 3, b r.2, c r.5, ut scilicet 3 r.5 sit binomium primum. Iam ipsis ab media proportionalis intererit rr.18. Tum sicut est aad d sic sit c ad e. Unde fiet e rr. 55/9 eruntque rr.18 rr.55/9 membra bimediale posterius componentia.

36

Namque talia membra de sunt medialia et solum in potentia [A:48r] in se commensurabilia, sicut ac quibus²² sunt proportionalia, et eorum productum rr.100 hoc est r.10 mediale. Eorundem quoque quadrata scilicet r.18 et r.55/9 faciunt r.435/9, quod est mediale. Quare quadratum huius bimedialis secundi fiet r.435/9 r.40 quod est binomium tertium. 37 Item nota quod sicut in ac binomio primo a potentior est quam c in quadrato quantitatis sibi commensurabilis. Ita fit in de bimediali, propter proportionalitatem membrorum, quae tamen conditio non est necessaria in bimediali. Quam ob rem, si exempli causa, sumpsissem ac binomium quartum scilicet 2 r.2, similiter comperissem de rr.12 rr.3 bimediale secundum. Nam productum horum membrorum esset rr.36²³, hoc est r.6²⁴ quod est mediale, et eius quadratum r.27 r.24, quod est binomium tertium, cum caeteris proprietatibus dictis, excepta conditione dudum memorata, quae non est necessaria.

38 Productum itaque ex d in e fuit rr.100 hoc est r.10. Ipsum de bimediale secundum. Eius quadratum r.435/9 r.40 quod est binomium tertium. [5²⁵] Et similiter²⁶ si sumpsissem quodlibet binomium.

10^a

Comperire residuum mediale secundum.

39 Faciam ea quae in praemissa et comperiam bimediale secundum, ex quorum minoris a maiore abscisione, fiet residuum quaesitum, cum iisdem portionum proprietatibus. Igitur residuum mediale secundum erit rr.18 rr.55/9, atque rr.12 rr.3.

Productum ex d in e rr. 36, hoc est r.6. de bimediale 2^um. Eius quadratum r.27 r.24 binomium 3^um.

Et illius quadratum r.435/9 r.40. Huius autem quadratum r.27 r.24, quae omnia sequuntur ex qualitatibus numerorum et calculo.

[A:48v]

11^a

Comperire quantitatem maiorem.

40 Eius membra sunt quadratum binomii quarti cum quadrato suae apotomes. Exempli gratia rv.--3 r.7 rv.--3 r.7, eiusque quadratum est 6 r.8 binomium quartum. Unde aggregatum quadratorum ex membris est 6, duplum vero producti ex membris r.8, hoc mediale, illud rationale.

12^a

Comperire minorem.

41 Est utique abscisio dictorum maioris membrorum, scilicet rv.--3 r.7 rv.--3 r.7 et eius quadratum 6 r.18, apotome quarta.

13^a

Comperire quantitatem rationale ac mediale potentem.

42 Eius membra sunt quadratum quinti vel sexti binomii una cum quadrato suae apotomes, ita ut differentia membrorum in quadratis ²⁷ sit numerus quadratus. Exempli gratia v.---r.8 2 v.---r.8 2. Unde eius quadratum r.32 4, scilicet binomium quintum. Quare congeries quadratorum ex membris factorum erit r.32, duplum vero producti ex membris 4, hoc rationale, illud mediale.

14^a

43 Comperire quantitatem cum rationali mediale potentem.

Erit praedictae bimembris abscisio, videlicet v.--r.8 2 v.---r.8 2, et eius quadratum r.32 4.

15^a

Comperire quantitatem bina medialia potentem.

Eius membra sunt quadratum quinti vel sexti binomii una cum quadrato suae apotomes, ita ut differentia membrorum in quadratis non sit numerus quadratus. 44 Exempli gratia v --r.6 2 v --r.6 2, cuius scilicet quadratum est r.24 r.8, quod est binomium sextum. Sic congeries quadratorum ex membris est r.24, duplum vero producti ex iisdem r.8, utrumque mediale inter se incommensurabilia.

16^a

Comperire quantitatem cum mediali mediale potentem.

45 Erit dictae irrationalis membrorum abscisio, scilicet v --r.6 2 v --r.6 2 et eius quadratum r.24 r.8.

[A:49r] Quae omnia in speculatione et praxi constant propter proprietates numerorum in calculo per multiplicationum, divisionum, additionum, subtractionum, et extractionum radicum regulas. Sicut et demonstratum fuit et in tabula exarata declaratum.

46 Ex quibus manifestum est quod²⁸

quantitas rationalis est, quae positae ab unitate denominatae commensurabilis est a numero scilicet denominata, vel quae potentialiter tantum rationalis est, ut r.3, r.5 vel quae cubo notescit: ut r.cu.7, r.cu.9.

47 Irrationalis autem est, quae neque simpliciter, neque potentialiter rationalis est, ut rr.5, quae medialis vocatur et secundo tantum quadrato notescit.

Bimembrem vero irrationalem oportet ex quibus membris incommensurabilibus conflari. Nam commensurabilia faciunt unimembrem.

Et, quoniam ex ductu singulorum membrorum in se et alterius in alterum bis, producitur quadratum ipsius bimembris (quippe quod constat ex duobus quadratis membrorum, et ex duobus eorum productis, quae sunt duo supplementa, per 4^am 2ⁱ) idcirco necesse, ut aggregatum ex quadratis quod voco magnum, et aggregatum supplementorum quod voco parvum, sint invicem incommensurabilia. 48 Secus enim ipsum dictum bimembris quadratum coalesceret in unum nomen, et ita ipsa bimembris quantitas esset radix quadrati unimembris, et fieret unimembris.

Quam ob rem, oportet, ut in unaquaque bimembri quantitate duo praedicta aggregata magnum et parvum, aut illud sit rationale, et hoc mediale, et sic erit binomium: aut illud mediale, et hoc rationale, et sic erit bimediale primum. 49 Aut ut utraque sint medialia incommensurabilia, et sic erit bimediale secundum. Et ita fiunt tres bimembrium species, in quibus membra sunt potentialiter tantum commensurabilia.

Et similiter fient tres sequentes bimembrium species, scilicet²⁹ maior potens rationale cum mediale, potens secundo medialia: in quibus membra sunt potentialiter incommensurabilia. Quarum sex specierum quadrata ex dictis aggregatis magno et parvo compaginata, singula sunt sex binomiorum singulae species.

50 Abscisionum vero quadrata singula singulae species apotomes.