[A:5v] ELEMENTORUM SECUNDUS

1 Parallelogrammum rectangulum, sub conterminis lateribus contineri dicitur.

Partiale autem parallelogrammum, quod circa diametrum, una cum supplementis sumptum gnomon vocetur.

1^a

2 Quod fit ex integra in divisam, aequum est eis¹ quae ex integra in partes divisae, simul sumptis.

Constat per se propositum.

2^a

Rectae quadratum aequum est iis, quae ex eadem in suas partes.

Constat sicut praecedens.

3^a

3 Secta utrinque linea, quod fit ex tota in unam partium, aequum est quadrato eiusdem partis et producto partium.

Constat non aliter, quam prima.

4^a

4 Item quadratum totius equum venit quadratis partium et duplo producti earum quae scilicet sunt supplementa.

Constat per praecedentem bis sumptam.

5^a

5 Si autem linea per aequalia et inaequalia secetur, productum inaequalium partium cum quadrato mediae simul sumptum aequivalet quadrata dimidiae.

Argue per 4^am, 3^am et p^am.

6^a

6 Quod si aequaliter divisae, quaedam apponatur, tunc, quod ex tota in adiectam, cum quadrato dimidiae sumptum aequum est quadrato eius, quae ex dimidia et adiecta constat.

Hic argue per 4^am et primam.

7^a

7 Secta utcunque linea: quadratum totius cum quadrato unius partium simul sumptum aequum est duplo producti totius in dictam partem, cum quadrato reliquae partis.

Argue per 4^am et per 3^am bis citatam.

8^a

8 Item quadratum totius aequivalebit quadruplo producti partium una cum quadrato differentiae² partium pariter sumptis.

Argue per 4^am et 7^am. [A:6r]

9^a

9 Linea aequaliter et inaequaliter divisa: quadrata partium inaequalium simul sumpta duplum faciunt quadratorum, quae ex dimidia et ex ea, quae punctis divisionum interiacet.

Argue per 4^am et 7^am. 10 Unde patet, quod si totum secetur in partes inaequales tunc quadrata partium simul sumpta duplum sunt quadratorum quae fiunt ex dimidio totius et ex excessu ipsius dimidii super partem minorem.

10^a

11 Si linea in partes inaequales utcumque³ secetur et partium altera per aequalia, tunc quadratum divisae cum quadrato reliquae partis simul duplum facient quadratorum, quae fiunt ex una partium aequalium, et ex ea, quae constat ex eadem parte ac parte non secta.

12 Ut si linea ab secetur utcumque in puncto c et partium utralibet per aequalia utpote ca in puncto d. Tunc dico quod quadratum ab cum quadrato bc simul facit⁴ duplum quadratorum quae ex cd et ex db. // Constat ex corollario praecedenti: si accipias lineam abc pro toto, partes autem inaequales ab, bc. Dimidium totius db excessum huius dimidii super partem minorem bc ipsam cd. // Hoc pacto, sicut corollarium praecedens sequitur ex 9^a. Imo est idem cum ipsa nona sicut praecedens 10^a infert idem, quod corollarium.

11^a

13 Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una partium continetur, aequum sit quadrato relique.

Capiatur per penultimam primi, linea, cuius quadratum aequum sit quadratis quae ex linea data, et ex eius dimidio: quod dimidium auferatur a tali linea. Nam residuum erit maior pars lineae secandae.

12^a

14 In triangulo amblygonio, latus obtusum subtendens angulum maius potest duobus caeteris, duplo producto unius eorum et continuatae usque ad cathetum ab acuto cadentem

[A:6v] Argue per penultimam primi et 4^am huius.

13^a

15 In omni autem triangulo latus oppositus acuto⁵, caeteris minus potest duplo producti unius eorum et portionis eius, quae perpendiculari et acuto interiacet.

Argue per penultimam pⁱ et 7^am huius.

14^a

16 Dato parallelogrammo rectangulo aequale quadratum describere.

Sit datum rectangulum, quod ex ab in bc secetur ac per aequalia in puncto d. Et quadratum cd excedat quadratum db in quadrato lineae e. // Tunc enim, per quintam huius, quadratum talis lineae erit aequum rectangulo abc. Cum enim rectangulum abc cum quadrato db aequivaleat quadrato cd. Et nunc quadratum e cum quadrato db adaequet quadratum cd. Iam ablato utrinque quadratum db supersunt rectangulum abc et quadrato e invicem aequalia.

15^a

17 Dato triangulo aequum quadratum describere.

Constituatur parallelogrammum rectangulum aequale dato triangulo per 42^am primi et parallelogrammo aequum quadratum per praecedentem.

16^a

18 Dato trapezio, sive rectilineo, quotlibet laterum, aequale quadratum describere. Distinguatur trapezium, sive rectilineum in triangula. Et triangulis singulis, per praecedentem, describantur quadrata singula aequalia. 19 Denique, per penultimam primi, fiat quadratum omnibus illis quadratis aequale: quod quidem aggregato triangulorum et perinde proposito rectilineo aequum erit.

Hoc pacto omnis figura rectilinea quadratur.

Secundi Elementorum finis

12 12 144

cd   per 5am

.  db  abc ---------   e

[A:7r]

Demonstrationes secundi

p^a

2^a

+   ab ac

.   ac +   ac cb +

3^a

4^a

+  ab per 2am .  ac ab per 3am .  ac + .   ac cb +  cb ab per 3am .   bc +  ac cb +

5^a

+  ac vel cb per 4am .   cd +   db . per 3am  cb bd ac . per pam   ad db +  cd db  cd db

6^a

+   cd per 4am .   cb +   bd . per pam  ad bd +   cb bd   cb bd ac

7^a

+   ab per 4am .  ac +  bc . per 3am  ab bc  +  ac cb  ac cb . per 3am  ab bc  + +  bc   bc

8^a

+   ad per 4am .  ab + . per 7am .   ab bc bd +  bd cb   ab bc bd +       ac +  ab bd +  ab bd +

[A:7v]

9^a

Ex qua sequitur 10^a

+   ad per 4am .  ac +  cd +  ac cd cb . per 7am .   ac +  ac cd cb +  db   db   cd +

11^a

df fb . per 6am ef <vel> ea per penultimam primi .   eb   eb   ba

12^a, 13^a

Demonstratio 13^e

ac ce .  ad

per 6am   cd

Apposito utrobique   bd ex penultima primi

ac ce .   ab

bc

Additio

20 Hoc modo differentia quadratorum ab, bc divisa in basim ac [A:8r] exhibet lineam ec quae est⁶ differentia portionum basis.

ac per 2am .   ac ea  ac ea   ac ce . ut iam ostensum est   bc   ab

Igitur quadratum bc minus est quadratis ab, ac simul sumptis in rectangulo ac ea. Et hoc est, quod concludit 13^a. Secundi quoniam in triangulo perpendicularis intus cadit.

Demonstratio 12^a

ca .  ad  ca ad  ca ad

per 7am  cd

Apposito utrobique  bd ex penultima primi fiet

ca .  ab  ca ad  ca ad

bc

21 Igitur quadratum bc (quoniam perpendicularis extra cadit): maius est quadratis ab, ca simul sumptis in duplo rectanguli ca ad. Et hoc concludit 12^a 2ⁱ.

Item quadratum bc excedit quadratum ab in quadrato ca dictoque duplo. Hoc est in rectangulo quod cd⁷ fit ex ac.

Additio Secunda

22 In cda quam ob rem differentia quadratorum ab, bc, divisa in ac exhibet totum cda a quo si auferatur ca superest duplum ad unde notescit ipsa ad.

Exemplum per 13^a

ac 196  ab 169 365  bc 225  ca ae 140

Quod est duplum quadrati ca ad quod est 70.

Per 12^a

169 16 185

225 185 40

quod est duplum rectanguli ca ad.

Per sequentibus

4 14 56

56 169 225

Quando perpendicularis cadit intus in basim; tunc productum basis in differentiam portionum una cum quadrato lateris minoris sumptum aequiperat quadratum lateris maioris. Ex hac sequitur demonstratio 13^e ut supra.

23 Quando autem perpendicularis cadit extra; tunc productum basis in aggregatum ex basis duploque adiectae usque ad perpendicularem una cum quadrato lateris minoris sumptum aequivalet quadrato lateris maioris. Quae conclusio sequitur ex demonstratione 12^e ut supra. [A:8v]

Scholium

24 Notandum, quod ratio postulabat, ut huius libri 13^a preponeretur 12^e. Nam 13^a pertinet ad perpendicularem intus cadentem, quod est commune triangulo orthogonio, amblygonio et oxygonio. At 12^a loquitur de perpendiculari extra cadente, quod accidit solum triangulo amblygonio.

25 Erat ergo hic optimus ordo, ut post 11^am immediate sequeretur praecedentium additarum prior. Deinde 13^a, quae ex ipsa addita demonstratur. Post hanc vero 12^a quae per 4^am huius et penultimam primi ostenditur.

Postremo autem reliqua ex additis, quae ex 12^a demonstratur. Hoc videlicet ordine.

Additio

26 In omni triangulo si perpendicularis intus cadit in basim: latus maius potentius est minore in rectangulo quod fit ex basi in differentiam portionum basis.

13^a

27 Tunc autem latus oppositum acuto utrumlibet minus potentius⁹ reliquo et basi in rectangulo quod fit ex basi et portionis inter dictum acutum et perpendicularem sumptae duplo.

12^a

28 Si autem perpendicularis extra cadat: quod accidit triangulo amblygonio: tunc latus, quod obtusum angulum subtendit, potentius est reliquis in rectangulo quod fit, ex basi et ex continuatae ad perpendicularem usque duplo.

Additio

29 Tunc autem latus dictum subtensum obtuso potentius est reliquo in rectangulo quod fit ex basi et ex aggregato basis et dupli eius, quae basi ad perpendicularem usque continuatur¹⁰.

Post hanc sequentur 14^a, 15^a, 6^a. Atque ita fient 18 propositiones.

Et completur Elementorum Secundus

30 Ianuarii