De flexis, quas secant et tangunt horariae lineae in obliquis horizontibus, et singulos situs et singula horologia. Caput 2
His praemissis, veniam ad singularia, incipiens ab horologio aequinoctiali, quoniam illud usum praestare potest cuilibet horizonti si ad eius situm adaptetur. Sit itaque sphaerae centrum a parallelorum, quos tangit horizon obliquus, diameter bc de in plano meridiani: eorum centra f g per quae axis mundi fg communis sectio meridiani et horizontis linea eac quae latus conicum est, super quo horizon tangit conicas superficies, quarum communis vertex a et bases bxc dez circuli. Linea bad communis sectio meridiani cum circulo horae 12ae ab ortu vel occasu quae latus conicum est, super quo circulus horae praedictae tangit conicas superficies: sicut in primo praeambulo praecedentis Capitis ostensum fuit. Et in eodem plano meridiani, linea hai secet ad rectos axem fag eritque hai communis sectio meridiani et aequatoris. Eritque angulus cag et unusquisque trium reliquorum inter axem et conica latera contentorum et ad punctum a coeuntium, altitudo poli, sive latitudo regionis: angulus autem eah et unusquisque trium reliquorum, prius dictis extrinsecorum, fiet complementum dictae altitudinis poli, seu localis latitudinis. Quod quidem lineamentum singulis sitibus obliqui horizontis erit commune, angulo quidem latitudinis ad situm propositum determinato. Ubi in primis notandum est, quod quando angulus gac altitudinis poli minor est dimidio recti, hoc est 45 gradibus; tunc angulus bac est acutus et eius contrapositus. Quando autem angulus gac est dimidium recti, tunc anguli octo ad punctum a coeuntes, sunt aequales inter se: et tunc linea bad est axis horizontis: et iacet in plano circuli verticalis, qui in tali situ est idem cum circulo praedicto horae duodecimae tangens conos super lineam bad. [S:218]
Quando vero angulus gac excedit recti dimidium, tunc altitudo poli incipit excedere altitudinem aequinoctialis. In horologio itaque aequinoctiali horariae lineae secantes circuli periferiam secant, in iis punctis, in quibus eandem tangunt lineae horarum tangentes. Sic fit ut, omnis linea secans circulum in duobus punctis secent, ad diametrum positis, in quibus eundem tangunt duae tangentes et aequidistantes: capiam enim ad hoc intelligendum in praefato lineamento, ex axe portiones ap aq aequales, quae *** pro stylis erunt. Et per signa pq producam plana aequidistantia basibus bxc dze conorum quae conos secando, facient, per 4am Primi Conicorum circulos, qui sint luq myn quorum centra pq eruntque lineae lk mn eorum cum meridiano communes sectiones: et perinde lineae meridianae dicentur. Caeteri autem circuli horarii per polos super axe fg se invicem secantes, secabunt circulos luk myn in arcus 24or aequos, facientque in eorum planis diametrales lineas horarum a meridie. Et sicut horizon tangit ipsos circulos in punctis k m circulus autem horae 12ae ab ortu vel occasu tangit eosdem in punctis l n in quibus quatuor punctis meridianus secat eosdem; ita et reliqui circuli horarii per polos cum correlativis circulis tangentibus facient. Quando ergo Sol declinabit ab aequatore hi ad partes poli extantis g spectabit faciem horologii myn et in eam proiiciuntur umbrae styli qa extremitas in eam scilicet horariam lineam, cuius horarium circulum Sol possederit. Quod si Sol ab aequatore hi declinaverit ad partes occulti poli f tunc irradiabit faciem horologii luk et umbrae a stylo pa proiectae similiter horarum indices erunt. In ipso vero aequinoctii utriuslibet die radie iaculabitur umbras per utranque faciem infinitas. In horologio autem horizontali obliqui situs, horariae lineae secantes parabolen secant singulae, meridiana linea excepta, in duobus punctis, in quibus hinc inde tangunt eandem geminae lineae horariae tangentes. Nam meridiana linea cum sit diameter transversa parabolae, in solo vertice secat eam, ubi eandem tangit linea horae 12ae. Horizon autem, qui aequidistat horologii plano minime facit lineam. Repetita itaque conorum descriptione, per punctum a traducam ipsi eac ad rectos lineam sar ut ipsae ar as sint mihi pro stylis invicem aequales. Et per puncta rs ducam ipsi eac aequidistantes indefinitas: quae quidem secent bc cd rectas apud ln axem autem apud qp ipsam bd apud km [S:219]
ipsamque hi apud easdem notas. Et super ductas li nh erigam plana parallela et ad meridianum orthogonalia: quae conos abc ade secantia facient per undecimam Primi Conicorum parabolas circum diametros kl mn quae sint xkz vmy. Sicut itaque meridianus eas parabolas secant facit lineas meridianas il hn ita et reliqui circuli per polos facient in planis parabolarum caeteras lineas horarum a meridie se invicem in puncto axis p vel q secantes: quae singulae, per 27am Primi Conicorum, utrinque coincident periferiae, in punctis videlicet, in quibus eandem tangent lineae horariae tangentes, ut in primo praeambulo praemissi ostensum fuit.
Nam meridiana linea il vel hn quae sunt axes parabolarum in solo vertice k vel n secat parabolam: ubi eandem tangit linea horae 12ae ab ortu vel occasu. Itaque in plano parabolae xkz stylus ra in plano autem parabolae vmy stylus as umbram proiiciet, eius horae indicem, in cuius circulo Sol tunc locabitur. Et sicut planum parabolae xkz est horologium ad nostrum spectans hemisphaerium: ita planum parabolae vmy ac nostros pertinet antichitiones. Illis ergo in linea meridiana consyderantur quatuor puncta, tam in uno, quam in altero horologio: scilicet punctum r qui pes est styli: punctum q in axe, in quo lineae horariae secantes se invicem secant: punctum i quod suscipit extremum umbrae meridianae aequinoctialis: et punctum k qui vertex est parabolae. In altero autem horologio ipsa haec puncta sunt apud f p d n. Verum hic facienda est distinctio secundum horizontem situs. Nam si quidem loci latitudo fuerit minor 30 gradibus tunc r punctum erit vicinius puncto i quam puncto k quandoquidem tunc anguli bak rai singuli cum sint minores 30 gradibus angulus rak maior 30 superest. Si autem loci latitudo fuerit gradibus 30 praecise; tunc r punctum medium erit inter ik puncta: quoniam anguli tunc praedicti 30 gradibus singuli.
Si vero loci latitudo maior sit quam 30 gradibus inferior autem 45 tunc, collatis iisdem angulis, punctum r vicinius puncto k quam puncto i [S:220] concludetur. At si loci latitudo fuerit 45 gradibus tunc punctum r quod est pes styli, cadet in ipsum k punctum parabolae verticem: quod erit inter qi medium.
Item, si loci latitudo fuerit maior quidem gradibus 45 minor vero 60 tunc punctum r cadet inter puncta k q vicinius puncto k. Adhuc, si loci latitudo fuerit praecise 60 graduum, punctum r medium erit inter puncta q k. Si denique latitudo 60 gradus excesserit, punctum r magis approximabit puncto q.
Nobis tamen: satis erit tres posuisse descriptiones: unam pro latitudine minori 45 gradibus: alteram pro 45 gradibus reliquam pro maiori. Nam ex prima et tertia caeteri situs facile notescent. Lineas autem horarias in his horologiis non protraximus: eas enim lectoris perspicacia intelliget, praesertim in 9o 10o 11o et 12o praecedentis libelli capitibus in exemplum praxeos delineatas. Item notandum quod dato, quod Sol deferatur in periferia basis unius conorum per motum diurnum: tunc umbrae styli extremitas circumlata describet ipsam circuli seu parabolae periferiam in altero cono per planum horologii factam. Adhuc sciendum, quod si super axem meridiani circumvolvantur praescripta horologia semicirculari conversione, iam unum ex eis redigetur in situm alterius: hoc est inferius ad situm superioris, et superius ad situm inferioris: de qua conversione in 15o capite praemissi libri actum est. Quae tamen ideo huc inducta sunt, ut horologiorum theoria innotescat lectoribus apertius.