[A:3r]

35^a

Si binomium secetur per residuum cuius¹¹ nomina sint in eadem ratione et proportionalia nominibus binomii: ex tali divisione proveniet binomium primum. Ostendatur per 28^12am et 24^13am sicut in dicto quaternione patet. Et per praemissam.¹⁴

36^a

Quod si caeteris stantibus, residuum secetur per binomium: proveniet ex divisione residuum primum. Similiter ostendetur per 28^15am. Et 25^16am praemissarum.. Et per antepraemissam ut ibidem.¹⁷

Corollarium

Hinc sequitur quod si pro talibus binomio et residuo sumantur eorum radices (quae sunt [quae sunt reliquae irrationales]¹⁸ reliquae irrationales)¹⁹ : et fiat (ut dictum est) divisio / proveniet quam ex illa divisione binomium / et ex hac residuum quippe quae sunt radices binomii et residui primorum per 18^am et 19^am praemissarum. Constat adducto corollario 12^ae huius secundi. Nam ex divisione radicis in radicem provenit radix ^ti quod proveniebat ex divisione ^ti in ^tum, quorum sunt radices [[differentiae]].

30^a

Si ex ductu binomii in aliquam quantitatem proveniat rationale productum: dicta quantitas erit residuum cuius nomina proportionalia et commensurabilia binomii multiplicantis nominibus.

31^a

Si residuum multiplicans quantitatem quampiam producat rationale, quantitas multiplicata erit binomium, cuius nomina proportionalia et commensurabilia residui multiplicantis nominibus. Hae due facile ostenduntur ex praecedenti 29^a20 [[harum]].

32^a

Si rationalis quantitas dividatur in binomium: quod ex divisione proveniet, erit residuum commensurabilium et proportionalium²¹ nominum. Ostenditur [[faciliter]] ex praecedenti 30^a. Est enim quasi eadem.

33^a

Si rationalis quantitas dividatur in residuum / quod ex divisione [[producitur]] / erit, binomium commensurabilium et proportionalium nominum. Ostenditur similiter ex 31^a praemissa. Est enim pene eadem. Quaere superius tres conclusiones.²²

37^a

Omnis quantitas potentia tantum rationalis multiplicans aliquam ex irrationalibus sive simplicem sive bimembrem, producit eiusdem speciei quantitatem et multiplicatae potentialiter tantum commensurabilem. Diffinitio binomii et residui rationalis est: cum talia ^ta per diffinitionem sint rationalia.²³ Nam per corollarium 11^ae huius 2ⁱ, productum ex ^tis erit ^tum24 eius, quod fit ex multiplicatione radicum. Et productum ex ^tis 2^is erit ^um eius, quod fit ex multiplicatione²⁵ radicum. Sed si quantitas potentia rationalis multiplicet quantitatem potentia rationalem: tale productum erit rationale: ergo productum radicum est potentia rationale sicut quantitas multiplicata. Eodem argumento. Si quantitas potentia rationalis, multiplicet medialem: producet medialem. Quia scilicet hinc ^tum 2^um, quod fiet ex ductu ^orum 2^orum erit rationalem. Et ideo productum radicum erit in ^to 2^o rationale: et perinde mediale. Hinc transfertur argumentatio ad binomia²⁶ et residua: quare ex multiplicatione singulorum membrorum producuntur eiusdem ratione membra et inter se potentia tantum commensurabilia sicut diffinitio binomii vel residui postulat. In caeteris fit hoc exemplum, dico quod r. 5 multiplicans bimediale primum / producit bimediale primum. Nam per 10^am harum 5 multiplicans binomium 2^um (quod est bimedialis primi) producit binomium 2^um. Sed hoc productum per corollarium 11^ae huius 2ⁱ est producti quaesiti: ergo productum quaesitum est radix binomii 2ⁱ. Et perinde bimediale primis. Quod erat ostendendum. Similiter in caeteris faciam.

Hinc sequitur, ut omnis quantitas alicui ex quantitatibus irrationalibus potentialiter commensurabilis²⁷ sit eiusdem speciei quantitas. Argumentare per ex 18^a harum.