Lemma

// Sint tres numeri a b c vel quotlibet volo disquirere utrum sint primi ad invicem an compositi. // Video per primam huius, utrum ex ipsis a b c duo quilibet sint primi: nam tunc per diffinitionem ipsi tres a b c primi sunt ad invicem.

6 // Quod si ex ipsis a b c quilibet duo sint compositi ad invicem, tunc capiatur per precedentem, ipsorum a b maxima dimensio, quae sit d. Itaque si d metitur ipsum c iam per diffinitionem abc sunt invicem compositi. Si autem d non metitur ipsum c suntque¹⁵ ipsi c d invicem primi, tunc a b c sunt invicem primi: nam si quispiam eos metiretur, iam per praemissum corollarium, metiretur ipsum d quare c d essent compositi, quod est contra suppositum. 7 // Si vero c d sunt invicem¹⁶, compositi: tunc erunt et ipsi a b c invicem compositi: sit enim, per praemissam, ipsorum c d maxima dimensio e qui cum metiatur ipsum d metietur et ipsos a b ab ipso d dimensos: itaque e metitur a b c singulos: et ideo a b c tunc compositi per diffinitionem.

// Similiter investigabo, utrum quattuor aut quinque aut quotlibet propositi numeri sint ad invicem primi.

[A:10r] 3^a

8 // Sint tres numeri a b c compositi ad invicem. // Oportet invenire ipsorum a b c communem dimensionem maximam.

// Sumatur per praecedentem ipsorum a b maxima communis dimensio, quae sit d. Itaque, si d metitur ipsum c. / Aio tunc quod d est maxima ipsorum a b c dimensio, secus enim sequeretur, per corollarium praemissae, maiorem metiri minorem. 9 // Si autem d non metitur ipsum c erunt tunc c d invicem compositi, secus enim ipsi a b c essent primi ad invicem, per antecedens lemma, quod est contra hypothesim. Itaque sit, per praemissam, ipsorum c d maxima communis dimensio e qui metietur ipsos a b c cum omnis numerus metiens quempiam metiatur dimensum ab eo. Aio quod et nullus maior ipso e metietur ipsos a b c. Sit enim, si possibile est, f maior ipso e dimentiens ipsos a b c. Itaque, per corollarium praemissae, f metietur ipsum d cumque metiatur ipsum c per idem corollarium, metietur et ipsum e maximam mensuram ipsorum cd maior minorem, quod est impossibile. 10 Non ergo metietur ipsos a b c maior numerus quam e. Itaque e maxima dimensio est ipsorum a b c, quae fuerat comperienda. // Similiter autem et pluribus numeris datis non primis ad invicem, maxima eorum communis dimensio invenietur.

Corollarium

// Proinde manifestum est quod si numerus aliquis tres vel plures numeros metitur et maximam eorum communem dimensionem metietur.