De parallelis. Cap.II.

Ex praemisso igitur capite constat circulos horarios meridianos, qui per mundi polos, esse 12. Qui secantes vocantur. Circulos autem horarios occasuales tangentes esse 24. Qui cum Aequatore simul sunt 37. Conos autem duos, quorum bases sunt duo Aequatoris paralleli, horizontem tangentes. Et quemadmodum planum horologii, dum secat ipsos circulos, facit lineas horarias eiusdem nominis: dum autem [A:83] secat conicas superficies, facit curvas periferias, quas lineae horariae meridianae, per unum axis punctum ductae secant, et in 24 sectionum punctis tangunt lineae horariae occasuales. Et quoniam 24 citculi tangentes secant in 24 punctis aequatorem, in quibus eum secant duodecimam circuli secantes, et tangunt dictos duos aequatoris parallelos in 24 punctis, in quibus eosdem secant circuli secantes; idcirco, (sicut eorum situs poscit) ipsi 24 circuli sese invicem cancellatim utrinque ab Aequatore intersecant. Intelliges ergo 22 aequatoris parallelos, undecim, scilicet septentrionales, et totidem australes: qui cum duobus extremis horizontem tangentibus et sum ipso Aequatore sunt 25 ex quibus ipsi minores 24 iuncti cum 37 maioribus faciunt 61. Qui paralleli dum deducuntur per puncta sectionum, in quibus circuli tangentes sese cancellatim intersecant, hunc servant ordinem: ut Aequator, qui medius est, habeat semicirculum super horizontem, et semicirculum sub eo: hoc est duodecimam arcus horarios supra, et totidem subter horizontem. Deinde sequentes duo correlativi hinc et inde paralleli, et deinde duo sequentes successive, usque ad extremos minimos, qui tangunt horizontem: et qui parallelorum integre apparentium sunt maximi (quae sunt 12 paria) ut coalternos arcus habeant aequales: hoc est, ut quot horas parallelus borealis habet super horizontem, totidem australis habeat sub horizonte: et econtrario: quot hoc super, totidem ille subter. Igitur primi paris parallelorum hinc et inde post Aequatorem supmtorum coalternos arcus intelliges habere horas 13 et 11. Secundi autem paris, horas 14 et 10. Tertii paris horas 15 et 9. Quarti paris, horas 16 et 8. Quinti paris, horas 17 et 7. Sexti paris, horas 18 et 6. Septimi paris, horas 19 et 5. Octavi paris, horas 20 et 4. Noni paris, horas 21 et 3. Decimi paris, horas 22 et 2. Undecimi paris horas 23 et 1. Duodecimi paris (qui scilicet hinc et inde tangunt horizontem) horas 24 et 0. Nam ex his duobus borealis totus extat, australis totus delitescit, in puncto tangentes. Quae omnia parvo negocio, ex aequalitate sphaeralium triangulorum demonstrantur. Quo, si sicut in praecedenti capite imaginati sumus duos conos, quorum bases sunt circuli paralleli tangentes horizontem, vertex vero communis centrum mundi; ita nunc et in unoquoque pari dictorum parallelorum faciamus; iam adipiscemur undecim alia paria conorum singula pro basibus correlativos parallelos, et pro vertice communi universale centrum habentia, relinquentia in medio aequatorem: cuius superficies plana per dictum centrum sibi commune incedit. Quibus ita intellectis, sequitur, ut sicut in capite praemisso, planum horologii secans circulos horarios, hoc est superficies eorum planas, faciebat lineas horarias eiusdem nominis: et secans conicas superficies parallelorum tangentium horizontem, [A:84] faciebat curvas periferias, quas lineae horatum meridianarum secant, et in sectionum punctis tangunt lineae occasuales; ita nunc ipsum horologii planum secans Aequatorem faciat lineam rectam aequinoctialem: in quam desinunt umbrae per totum diem aequinoctii. Et secans utrinque ab Aequatore conicas superficies dictorum conorum, faciat hinc et inde curvas periferias hyperbolarum, in quas desinunt umbrae hinc aestivae, inde hyemales: ita ut Sol in oppositi, hoc est, correlativi paralleli periferiam iaculetur umbram. Et notandum quod hae sunt periferiae, et curvae lineae in horologiorum planis notandae: quia fiunt a parallelorum conicis superficiebus ordinatorum secundum crementa horarum. Sed infra in quinto et sexto capite dabitur modus describendi Aequatorem et lineas huiusmodi curvas hyperbolicas utrinque ab Aequatore, quae pertinent ad parallelos tropicos, et per initia duorum mediorum signorum productos hinc et inde. Quo videlicet umbra desinens in lineam rectam aequinoctialem indicet Solem esse in principio Arietis, aut Librae: desinens autem in hyperbolem Tropici aestivi, ostendat Solem esse in principio Cancri, desinens in contrapositam, in principio Capricorni. Desinens in contrapositam iuxta Aequatorem, hinc in principio Tauri, aut Virginis: inde in principio Piscium, aut Scorpii. In contrapositas sequentes, hinc in principio Geminorum, aut Leonis: inde in principio Aquarii, aut Sagittarii. Et sic distinguitur zodiacus in plano horologii: sicut in duobus dudum memoratis capitibus inferius docebimus. Sed distinctio superior parallelorum usque ab tangentes horizontem facta pertinet ad totam arcuum diurnorum divisionem, etiam si Sol, aut astrum quodlibet inde radiaret, umbramque proiiceret. Quamquam habentibus zenit in Arctico, vel Antarctico tangentes horizontem sunt ipsi Tropici: qui tangunt zodiacum. Qui ibi quotidie unitur horizonti. Qui vero habent zenit inter Arcticum, et polum, sortiuntur circulos tangentes horizontem maiores Tropicis. Et extra tangentes habent parallelos aliquot Solis, aut integros super horizontem, aut integros subter eum, ut nox, vel lux continua complectatur plures dies. Unde tunc usu veniunt illis lineae horariae se invicem in axe secantes, quandiu Sol non occidit.

Ulterius notatu dignum est, quod si duo circuli per polos, quasi coluri, qui sunt de numero horariorum secantium, cum Aequatore faciant in sphaerica superficie, octo triangula ex quadrantibus circulorum composita: haec erit prima divisio, in qua considerantur 7 puncta, scilicet centrum mundi et sex puncta, in quibus periferiae dictorum trium circulorum se intersecant: et qui sunt sex poli eorum. His tribus adde quatuor alios per mundi polos, qui cum coluris Aequatorem in 12 arcus dividunt: qui singuli comprehendunt duas horas. Adde sex pa[A:85]rallelos hinc et inde totidem ab Aequatore, per crementa binarum horarum dispositos: et est secunda divisio, quae habet 19 circulos. Adhuc, si per polos ducantur 12 circuli secantes, per singularum horarum spacia; et per puncta divisionum 24 tangentes (ut dictum est) cum Aequatore facient 37 circulos magnos. Demum accumula super hos etiam numerum parallelorum 24 per singularum horarum crementa (ut diximus) distributorum, in quorum medio Aequator maximus incedit. Et conflabis 61. Quod mirabile mihi videtur: quoniam hi numeri 7 19 37 61 res mirabilis¹ sunt numeri hexagoni aequianguli, dignitatis eximiae: quoniam super unitatem successive aggregati, construunt cubos per ordinem.

Denique regula haec observanda: quod ubicunque se invicem secant duo circuli horarii in sphaera, communis eorum sectio est diameter utriusque ac mundi. Et tunc, si planum horologii secet talem diametrum, in eodem puncto secant se invicem lineae horariae talium circulorum in ipso plano. Si autem planum aequidistet diametro, secans tamen planities circulorum: tunc lineae horariae sunt aequidistantes in plano horologii. Si vero planum aequidistet uni ex circulis horariis: tunc eius linea horaria evanescit, apparente reliqua.