Venue
Dipartimento di matematica, Aula riunioni.
Abstract
La topologia di Zariski ${\mathfrak Z}_G$ di un gruppo $G$, fu introdotta esplictamente da R. Bryant [2] sotto il nome verbal topology, ma implicitamente suggerita da Markov [6]. I sottoinsiemi di $G$ della forma $\{x\in G: g_1 x^{\varepsilon_1} g_2 x^{\varepsilon_2} \cdots g_n x^{\varepsilon_n} = e_G\}$, dove $g_1,\ldots, g_n\in G$, $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n \in\{-1,1\}$ e $n \in \mathbb N_+$ formano una prebase della famiglia dei sottoinsiemi ${\mathfrak Z}_G$-chiusi di $G$. La topologia di Zariski e $T_1$, ma in generale non $T_2$, in particolare non è una topologia gruppale ([3,5]).
L’oggetto di questo seminario è la classe $\mathbb C$ dei gruppi $G$ dove tutti i sottoinisiemi propri ${\mathfrak Z}_G$-chiusi sono finiti (cioè ${\mathfrak Z}_G$ coincide con la topologia cofinita di $G$). Questa classe è determinata dai suoi gruppi numerabili (cioè $G \in \mathbb C$ se e solo se tutti i sottogruppi numerabili di $G$ sono in $\mathbb C$). Pertanto, assumeremo nel seguito che tutti i gruppi in $\mathbb C$ sono anche numerabili.
L’interesse per la classe $\mathbb C$ è motivato dal problema di Markov [6] della descrizione dei sottoinsiemi potenzialmente densi di un gruppo $G$ ($X\subseteq G$ si dice potenzialmente denso se esiste una topologia gruppale $T_2$ su $G$ che rende $X$ denso). La classe $\mathbb C$ contiene la classe $\mathscr P$ dei gruppi numerabili $G$ di cui ogni sottoinsieme infinito è potenzialmente denso.
Il fatto che $\mathbb Z\in \mathscr P$ segue del teorema di H. Weyl dell’uniforme equidistribuzione mod 1.
Più in generale, $\mathscr P$ contiene
(a) tutti i gruppi abeliani $G$ di $p$-rango finito per ogni primo $p$;
(b) tutti i gruppi abeliani di esponente primo.
Siccome (a) e (b) descrivono esattamente i gruppi abeliani in $\mathbb C$ ([3]), si deduce che i gruppi abeliani in $\mathbb C$ e $\mathscr P$ coincidono (dimostrazioni, che evitano opportunamente il vincolo della numerabilità, si trovano in [4]).
Congetturiamo che vale $\mathbb C= \mathscr P$. Questo seguirebbe dalla seguente congettura più precisa e dai risultati nel caso abeliano:
Congettura. [1] Ogni gruppo infinito della classe $\mathbb C$ è abeliano.
La classe $\mathbb C$ è stabile per passaggio a sottogruppi. I gruppi non-abeliani di $\mathbb C$ sono di esponente primo, hanno centro finito e hanno numerosi altre proprietà che suggeriscono la validità della congettura ([1]). Inoltre, non sono noti esempi di gruppi (mostri) di Tasrki che appartengono alla classe $\mathbb C$.
Se il tempo permette discuteremo anche altre applicazioni della topologia di Zariski.
[1] M. Bonatto, D. Dikranjan, D. Toller, Groups with cofinite Zariski topology and potential density, to appear in Topology Appl. arXiv:2110.13084
[2] R.M. Bryant, The verbal topology of a group, J. Algebra 48 (1977), no. 2, ~340–346.
[3] D. Dikranjan, D. Shakhmatov, The Markov-Zariski topology of an abelian group, J. Algebra 324 (2010), ~1125–1158.
[4] D. Dikranjan, D. Shakhmatov, A Kronecker-Weyl theorem for subsets of Abelian groups, Advances in Mathematics, 226 (2011) 4776–4795.
[5] D. Dikranjan, D. Toller, Zariski topology and Markov topology on groups, Topology Appl. 241 (2018) no. 24, 115–144.
[6] A.A. Markov, On unconditionally closed sets, Comptes Rendus Doklady AN SSSR (N.S.) 44 (1944), ~180–181 (in Russian).
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