Presentazione degli insegnamenti non obbligatori

L’algebra commutativa prende le mosse da esempi relativamente concreti (aritmetica di base, polinomi, anelli commutativi classici) per costruire il linguaggio astratto che permette di affrontare lo studio generale degli anelli, incluse le loro proprietà di integralità, fattorialità e dimensione.

Nel corso Algebra 2 si ampliano le nozioni di base sugli anelli viste ad Aritmetica e Algebra 1, introducendo moduli, prodotti tensoriali, localizzazione nel contesto più generale e successioni esatte, senza trascurare l’importante strumento applicativo fornito dalle basi di Gröbner. Il corso di Istituzioni di Algebra prosegue nel medesimo solco, approfondendo queste nozioni e avvicinandole a varie altre aree della matematica: lo studio di valutazioni e domini di Dedekind, ad esempio, è fondamentale tanto in teoria dei numeri (nello studio degli anelli degli interi dei campi di numeri) quanto in geometria algebrica (nello studio delle curve algebriche); il linguaggio dell’algebra omologica si applica sia alla teoria dei gruppi che alla geometria, offrendo un quadro generale in cui interpretare varie teorie coomologiche.

Questi corsi forniscono così una base teorica per la ricerca in algebra commutativa, teoria algebrica dei numeri, geometria algebrica ed aree affini.

Per lo studente interessato a quest’area di ricerca può essere utile frequentare anche i corsi di Teoria algebrica dei numeri, Teoria di Galois, ed Elementi di geometria algebrica, in cui molte delle nozioni introdotte in questi corsi trovano applicazione.

Combinatorics studies mainly the existence, construction, enumeration and structural properties of discrete mathematical structures such as graphs, posets, simplicial complexes, matroids, to just name a few.

While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its “Renaissance” in the 1960’s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.

Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.

We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.

• Algebraic combinatorics
• Algebraic topology B
• Coxeter groups
• Discrete mathematics
• Elements of representation theory
• Groups and representations
• Ultrafilters and nonstandard methods

Other courses with an important combinatorial content are:

• Discrete and continuous models in probability (offered at Scuola Normale Superiore)
• Lie algebras and Lie groups (Algebre e gruppi di Lie)
• Linear Algebraic Groups (Gruppi Algebrici Lineari)
• Probability on graphs (offered at Scuola Normale Superiore)

We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):

• Algebraic and Combinatorial aspects of Tropical Geometry
• Chromatic symmetric functions: recent advances
• Combinatorics and representations of 0-Hecke algebras
• Combinatorial methods in topology
• Combinatorial topology and group theory
• Combinatorics of diagonal coinvariants
• Combinatorics of the flag variety
• Mutually enhancing connections between Ergodic Theory, Combinatorics, and Number Theory
• Polyhedral geometry: at the intersection of combinatorics, geometry, algebra and optimization
• The Geometry and Topology of Matroids

Algebraic topology B is a master course in discrete methods in algebraic topology. In this course fundamental combinatorial structures like posets, simplicial complexes, hyperplane arrangements and matroids are studied.

Lie algebras and Lie groups is an introductory course of Lie theory. The root systems, whose combinatorics determines the structure of both algebras and groups, are one of the fundamental discrete objects in algebraic combinatorics.

La teoria dei numeri è un’area molto vasta, all’interno della quale ci si può muovere in direzioni diverse: a fianco dei classici approcci algebrici ed analitici, nella seconda metà del secolo scorso si sono sviluppate connessioni sempre più strette con la geometria algebrica.

Fra le applicazioni principali della teoria dei numeri rivestono poi una particolare importanza quelle legate alla crittografia.

Elenchiamo qui sotto i principali corsi offerti dal dipartimento nell’area della teoria dei numeri e della crittografia. Sono indicati fra parentesi quadre i corsi ad attivazione meno regolare.

I corsi di Teoria algebrica dei numeri 1 e 2 e di Teoria di Galois costituiscono percorsi interconnessi, ma sostanzialmente indipendenti. Possono essere seguiti in qualsiasi ordine, e nel loro insieme offrono una visione coerente della comprensione attuale dell’aritmetica in domini diversi da quello dei numeri interi.

Il corso di teoria di Galois amplia e approfondisce i concetti introdotti nel corso di Algebra 1, concentrandosi in particolare sulla teoria di Galois nel contesto delle estensioni algebriche di grado infinito. Il corso di Teoria algebrica dei numeri 1 si concentra sullo studio delle proprietà aritmetiche dei campi di numeri (estensioni finite del campo dei numeri razionali), esaminando in particolare le generalizzazioni appropriate del concetto di fattorizzazione unica in questo contesto.

Il corso di Teoria algebrica dei numeri 2 si focalizza invece sull’aritmetica dei campi p-adici, strutture ottenute mediante una procedura di passaggio al limite di congruenze modulo potenze di un numero primo p. Nonostante la loro struttura risulti più semplice rispetto a quella dei campi di numeri, l’aritmetica dei campi p-adici fornisce informazioni rilevanti anche per lo studio di questi ultimi.

Il corso Teoria algebrica dei numeri 3 è più avanzato rispetto ai corsi 1 e 2 ma può essere seguito in modo indipendente da chi è pronto ad accettare qualche fatto dimostrato negli altri corsi. L’obbiettivo principale è lo studio degli estensioni di Galois di campi di numeri o p-adici con gruppo di Galois abeliano.  Queste estensioni sono molto rilevanti dal punto di vista aritmetico e hanno legami sia a problemi di aritmetica classici che direzioni di ricerca attuali.

Infine, il corso di Curve ellittiche introduce questi oggetti (particolari curve algebriche proiettive) ed esamina le interazioni fra le loro proprietà aritmetiche e geometriche. Le curve ellittiche figurano prominentemente anche nel corso di Metodi matematici della crittografia, nel quale viene analizzata in particolare l’interazione fra l’aritmetica delle curve ellittiche e quella dei campi finiti.

Per lo studente interessato a quest’area di ricerca può essere utile frequentare i corsi di Algebra 2 e Istituzioni di algebra, che, pur non essendo prerequisiti stringenti per alcuno dei corsi elencati sotto, forniscono certamente delle solide basi teoriche che possono facilitare la comprensione di altri argomenti.

=== Teoria dei numeri algebrica ===
Teoria dei campi e teoria di Galois
Teoria algebrica dei numeri 1
Teoria algebrica dei numeri 2
Curve ellittiche
[Rappresentazioni di Galois p-adiche]
[Campi ciclotomici]
Teoria algebrica dei numeri 3

=== Teoria dei numeri analitica ===
Teoria dei numeri elementare
Teoria analitica dei numeri A
Teoria analitica dei numeri B
[Funzioni L]
[Forme modulari]

=== Applicazioni alla crittografia ===
Metodi matematici della crittografia
[Crittografia post-quantistica]
[Teoria dei codici / Teoria dei codici e crittografia]

Alcuni temi di ricerca sviluppati in Dipartimento riguardano la Teoria di Lie. Con questa denominazione indichiamo sia argomenti che riguardano la teoria delle rappresentazioni di strutture algebriche quali, per esempio, le algebre di Lie o i gruppi, sia la manifestazione di queste strutture in altre aree della Matematica. In questa accezione, sia i problemi affrontati, che le tecniche usate in Teoria di Lie, possono avere differenti sfumature a seconda della struttura algebrica studiata o degli ambiti in cui essa appare. D’altro canto, l’idea unificante di questa area di ricerca è come la presenza di una simmetria in un dato problema matematico possa essere una chiave fondamentale per la sua soluzione o per una sua migliore comprensione. Per l’anno 2026 sarà attivato il corso:

• Algebre e gruppi di Lie

Algebre e gruppi di Lie  è un corso introduttivo alla teoria delle algebre di Lie. In particolare ci concentreremo sulla classificazione delle algebre semisemplici e sulle loro rappresentazioni.

Aggiungiamo un breve commento su come si colloca l’offerta di quest’anno con l’offerta didattica potenziale del dipartimento su questo argomento.

Insieme al corso Algebre e gruppi di Lie, i corsi, Gruppi e rappresentazioni e Gruppi Algebrici Lineari costituiscono l’ossatura fondamentale dell’offerta didattica per questi temi di ricerca. Cercheremo di attivare questi corsi con una discreta regolarità. Altri corsi riguardanti questo tema di ricerca che  potrebbero essere attivati sono i seguenti:

• Teoria delle rappresentazioni A
• Gruppi di Coxeter
• D-moduli
• Forme modulari

Inoltre, relativamente a questo tema di ricerca, nell’anno 2023/2024 è stato attivato anche un corso di lettura sulla categoria O, nell’anno 2024/2025 un corso di lettura di teoria dei fasci e durante l’anno 2025/2026 una serie di seminari sulle congetture di Serre (in collaborazione con il gruppo di teoria dei numeri) e un corso di letture sulle basi cristalline (in collaborazione con il gruppo di Combinatoria). Una simile attività sarà svolta anche nell’anno 2026/2027.

Combinatorics studies mainly the existence, construction, enumeration and structural properties of discrete mathematical structures such as graphs, posets, simplicial complexes, matroids, to just name a few.

While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its “Renaissance” in the 1960’s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.

Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.

We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.

• Algebraic combinatorics
• Algebraic topology B
• Coxeter groups
• Discrete mathematics
• Elements of representation theory
• Groups and representations
• Ultrafilters and nonstandard methods

Other courses with an important combinatorial content are:

• Discrete and continuous models in probability (offered at Scuola Normale Superiore)
• Lie algebras and Lie groups (Algebre e gruppi di Lie)
• Linear Algebraic Groups (Gruppi Algebrici Lineari)
• Probability on graphs (offered at Scuola Normale Superiore)

We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):

• Algebraic and Combinatorial aspects of Tropical Geometry
• Chromatic symmetric functions: recent advances
• Combinatorics and representations of 0-Hecke algebras
• Combinatorial methods in topology
• Combinatorial topology and group theory
• Combinatorics of diagonal coinvariants
• Combinatorics of the flag variety
• Mutually enhancing connections between Ergodic Theory, Combinatorics, and Number Theory
• Polyhedral geometry: at the intersection of combinatorics, geometry, algebra and optimization
• The Geometry and Topology of Matroids

Algebraic topology B is a master course in discrete methods in algebraic topology. In this course fundamental combinatorial structures like posets, simplicial complexes, hyperplane arrangements and matroids are studied.

Lie algebras and Lie groups is an introductory course of Lie theory. The root systems, whose combinatorics determines the structure of both algebras and groups, are one of the fundamental discrete objects in algebraic combinatorics.

Gli insegnamenti principali suggeriti nell’a.a. 26/27 per questo percorso sono:

• Elementi di Analisi Complessa (a cavallo fra laurea triennale e laurea magistrale)
• Geometria e Analisi Complessa (laurea magistrale)

L’insegnamento di Elementi di Analisi Complessa si innesta sull’insegnamento di Geometria 2 fornendo una presentazione accurata dei principali risultati classici di geometria e analisi complessa di una variabile e un’introduzione all’analisi complessa di più variabili; è un insegnamento obbligatorio per chi sceglie il piano di studi in Geometria nella laurea magistrale.

Durante la laurea magistrale, ogni anno viene proposto un insieme diverso di insegnamenti fra cui scegliere, in modo che nel corso dei due anni lo studente possa crearsi un fondamento solido in dinamica olomorfa o in geometria complessa (o in entrambi gli argomenti). Oltre ovviamente a Istituzioni di geometria (che è obbligatorio per tutti i piani di studi in Geometria) per l’a.a. 26/27, è attivato l’insegnamento di Geometria e Analisi Complessa, che prosegue lo studio dell’analisi complessa a più variabili, presenta un’introduzione alle varietà complesse, e introduce elementi della teoria del potenziale.

Anche l’offerta di insegnamenti correlati cambia ogni anno. Nell’a.a. 26/27 altri insegnamenti potenzialmente di interesse sono

• Geometria algebrica complessa, in cui viene mostrato come strumenti di analisi complessa possono essere utilizzati per affrontare problemi di geometria algebrica;
• Geometria Riemanniana, che, pur se in un contesto reale, introduce strumenti indispensabili per lo studio delle varietà complesse, hermitiane e kähleriane.

La Dinamica olomorfa è parte integrante del percorso di specializzazione. Per quanto il corso relativo non sia attivato quest’anno, presenta un’altra importante direzione anche per chi volesse indirizzarsi alla geometria complessa. Per chi volesse iniziare a dirigersi in questa direzione, si segnala il corso di Teoria ergodica.

Algebraic geometry began as the branch of mathematics focused on studying the geometry of the zero loci of systems of multivariate polynomials, known as algebraic varieties, in affine or projective space. From the outset, it was evident that a deep understanding of these topics requires analyzing the intrinsic properties of the objects, adopting a geometric perspective, and employing a robust algebraic formalism.

Today, algebraic geometry is not primarily concerned with the specific equations describing these spaces. Instead, the focus has shifted to the study of abstract properties and the classification of algebraic varieties (and related objects). This is often achieved by associating suitable algebraic structures or invariants to geometric objects, much like in algebraic topology. The field has strong connections to other areas of mathematics, such as commutative algebra (often seen as a “local” version of algebraic geometry), complex geometry, number theory, representation theory, and mathematical physics.

Key tools for this study include several theories and frameworks developed in the 20th century, such as category theory, the language of schemes, sheaf theory, and vector bundle techniques, among others.

At the University of Pisa, we offer an introductory course on the Foundations of Algebraic Geometry (Elementi di Geometria Algebrica) along with several courses (some of which are not offered every year) covering different aspects of the field:

• Scheme Theory (Teoria degli schemi) – offered this year
• Transcendental methods in complex algebraic geometry (Metodi trascendenti in geometria algebrica complessa) 
• Riemann Surfaces and Algebraic curves (Superfici di Riemann e curve algebriche)
• Abelian varieties (Varietà abeliane)
• Complex Algebraic surfaces (Superfici algebriche complesse)
• Complex Algebraic Geometry (Geometria algebrica complessa) – offered this year
• Toric geometry (Geometria Torica)
• Hodge theory (Teoria di Hodge)
• Complex differential geometry (Geometria differenziale complessa)
• Elliptic curves (Curve ellittiche)

La topologia algebrica si occupa dello studio delle proprietà degli spazi topologici attraverso l’analisi di invarianti descritti da oggetti algebrici. 

Corsi suggeriti in questo contesto sono:

• Elementi di Topologia Algebrica (terzo anno della laurea triennale)
• Topologia Algebrica A (laurea magistrale  – NON attivato per l’AA. 2026/27)
• Topologia Algebrica B (laurea magistrale)

Mentre il corso di Elementi di Topologia Algebrica offre una prima introduzione generale, il corso Topologia Algebrica A offre un approfondimento rivolto verso la teoria dell’omotopia, e il corso Topologia Algebrica B offre un approfondimento rivolto verso la combinatoria. I due corsi avanzati vengono di solito attivati ad anni alterni.

Molto spesso gli argomenti di topologia algebrica tradizionalmente studiati presso l’Università di Pisa si affacciano verso la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni. Infatti è frequente studiare oggetti topologici nati dalla combinatoria o dalla teoria delle rappresentazioni, così come la combinatoria e le rappresentazioni possono illuminare con un nuovo punto di vista lo studio degli invarianti di oggetti topologici. 

Risulta quindi naturale suggerire alcuni corsi da affiancare a questo percorso:

• Elementi di teoria delle rappresentazioni (terzo anno della laurea triennale – NON attivato per l’AA. 2026/27)
• Algebre e gruppi di Lie (laurea magistrale)
• Gruppi di Coxeter (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2026/27)

L’area raccoglie insegnamenti dedicati allo studio delle varietà differenziabili, della loro topologia e delle strutture geometriche che esse possono portare. I corsi attivati offrono un percorso che parte dalla geometria differenziale classica di curve e superfici e dalle nozioni fondamentali di topologia differenziale, prosegue con uno studio sistematico delle varietà lisce, delle forme differenziali e della geometria riemanniana, e arriva ai teoremi di confronto della geometria riemanniana e alle loro conseguenze topologiche.

Nell’a.a. 2026/27 i corsi riconducibili all’area sono:

• Geometria e Topologia Differenziale;
• Istituzioni di Geometria;
• Geometria Riemanniana.

Per chi intenda seguire tutti e tre gli insegnamenti, l’ordine naturale è Geometria e Topologia Differenziale, Istituzioni di Geometria, Geometria Riemanniana. Il primo corso è comunque accessibile con i prerequisiti dei corsi obbligatori della laurea triennale, mentre i successivi sviluppano progressivamente gli strumenti introdotti nei corsi precedenti.