Una delle idee principali nella teoria delle categorie derivate, dovuta a Bondal e Orlov negli anni Novanta, e' che la categoria derivata dei fasci coerenti su una varieta' proiettiva liscia dovrebbe contenere informazioni molto interessanti sulla geometria della varieta' stessa, ad esempio, sulle proprieta' birazionali.

A classical result of Ken Ribet states that an abelian variety defined over the maximal cyclotomic extension of a number field has only finitely many torsion points. In joint work with Damian Rössler we have proven a  finiteness theorem for the cohomology of algebraic varieties defined over fields of the above type which is a broad generalization of Ribet's theorem. We have also made some conjectures concerning possible generalizations involving algebraic cycles, and investigated analogues in positive characteristic.

Un esmpio di noce di Grothendieck: la soluzione di Artin-Schreier del 17° problema di Hilbert

Abstract: Le varietà Kähleriane, introdotte negli anni ’30, rappresentano una classe speciale di varietà differenziabili poiché possiedono una struttura complessa, una struttura metrica e una struttura simplettica che sono compatibili tra loro. Esempi di tali varietà sono le varietà algebriche proiettive. La presenza di quelle tre strutture geometriche su una varietà Kähleriana comporta una serie di risultati molto forti, da cui seguono ostruzioni anche a livello topologico.