Venue
Dipartimento di Matematica, Aula Seminari.
Abstract
È facile mostrare che il “grafo di appartenenza” di ogni modello numerabile della teoria degli insiemi, ottenuto collegando x e y se x appartiene a y *oppure* y appartiene a x, è isomorfo al Grafo Random (o Grafo di Rado). Questo è vero per teorie degli insiemi estremamente deboli purché, crucialmente, soddisfino l’Assioma di Fondazione.
In questo seminario parlerò di un mio lavoro con Bea Adam-Day e John Howe, dove studiamo la classe dei “grafi di doppia appartenenza”, ottenuti collegando x e y se x appartiene a y *e* y appartiene a x, nel caso di ZFA, ottenuta da ZFC sostituendo l’assioma di Fondazione con l’assioma di Anti-Fondazione.
Se i “tradizionali” grafi di appartenenza sono omega-categorici e supersemplici, vedremo che la classe dei grafi di doppia appartenenza di modelli di ZFA è un oggetto molto più complicato: la sua teoria è incompleta, e ogni completamento ha il numero massimo di modelli numerabili ed è estremamente “untame” nel senso della teoria della neostabilità.
Usando idee provenienti dalla teoria dei modelli finiti, caratterizzeremo i completamenti di cui sopra, e mostreremo che la parte numerabile di questa classe non è chiusa per equivalenza elementare fra strutture numerabili, rispondendo ad alcune domande di Adam-Day e Cameron.
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