Analisi Matematica B - 2011/12 - Appunti delle lezioni

    Lezione 20.09.2011 Assiomi dei numeri reali, disuguaglianza di Bernoulli.

    Lezione 22.09.2011 Il valore assoluto. Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica.

    Lezione 27.09.2011 Massimo e minimo, maggioranti e minoranti, limitatezza, estremo superiore ed inferiore. Alcune successioni importanti.

    Lezione 29.09.2011  Esercizi su massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. Proprieta' dell'estremo superiore ed inferiore.
    Lezione 04.10.2011  Limiti di successioni e loro proprieta' elementari: unicita', limitatezza delle successioni convergenti, confronto, proprieta' algebriche.
    Lezione 06.10.2011  Proprieta' algebriche delle successioni divergenti. Esercizi sui limiti di successioni. Alcuni limiti importanti.
    Lezione 11.10.2011  Funzioni e successioni monotone. Le successioni monotone hanno limite. Limiti di funzioni.
    Lezione 13.10.2011  Esercizi su convergenza di successioni definite per ricorrenza. Un problema di codifica dove compare la successione di Fibonacci.

    Lezione 18.10.2011  Funzioni continue e loro prime proprieta'. Il teorema degli zeri: dimostrazione ccon l'estremo superiore e dimostrazione per bisezione. Limiti destri e sinistri.

    Lezione 25.10.2011  Monotonia e continuita'. Continuita' della funzione inversa. La radice n-esima di un numero positivo.

    Lezione 27.10.2011  Fine soluzione del problema di codifica. Esercizio su una ricorrenza lineare del secondo ordine.

    Lezione 08.11.2011  La funzione esponenziale e le sue proprieta'. Il logaritmo.

    Lezione 10.11.2011  Esponenziale e logaritmo di base qualsiasi. Esercizi su esponenziali e logaritmi. Notazione di Landau. Versione debole della formula di Stirling.

    Lezione 15.11.2011  Numeri complessi: operazioni algebriche, coniugato, modulo.

    Lezione 17.11.2011  Esercizi e regole di calcolo con la notazione di Landau. Un esercizio sui numeri complessi. L'esponenziale complesso.

    Lezione 22.11.2011  Le funzioni seno e coseno. Formula di de Moivre. Interpretazione geometrica del prodotto di numeri complessi. Radici n-esime di numeri complessi. Esercizi.

    Lezione 24.11.2011  Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Massimi e minimi di funzioni continue. Teorema di Weierstrass.

    Lezione 29.11.2011  La derivata: interpretazione geometrica e significato analitico. Esempi. Proprieta' algebriche della derivata.

    Lezione 01.12.2011  Calcolo di derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse.

    Lezione 06.12.2011  Massimi e minimi locali. Principio di Fermat. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Applicazione: come funziona l'arcobaleno.

    Lezione 13.12.2011  Applicazioni della derivata.

    Lezione 15.12.2011  Teorema fondamentale dell'algebra.
    Lezione 28.02.2012  Formula di Taylor con resto di Peano. Calcolo del polinomio di Taylor di varie funzioni.

    Lezione 05.03.2012  Esercizi sugli sviluppi di Taylor. Condizioni sufficienti affinché un punto sia di minimo o massimo locale per una funzione derivabile n volte.

    Lezione 06.03.2012  Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazioni: 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = log 2 e 1 -1/3 +1/5 -1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4.

    Lezione 12.03.2012  Serie di numeri reali. Serie geometrica, armonica, di Mengoli. Serie a termini positivi: confronto e criterio della radice n-esima. Serie armonica generalizzata.

    Lezione 13.03.2012  Esercizi sulle serie. Criterio della radice n-esima e del rapporto.

    Lezione 19.03.2012  Confronto asintotico di sere. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Esempi di serie di potenze.

    Lezione 20.03.2012  Esercizi sulle serie.

    Lezione 26.03.2012  Dominio di convergenza di una serie di potenze. Derivabilità delle serie di potenze. Applicazioni.

    Lezione 27.03.2012  Calcolo approssimato di logaritmi. Esercizi sulle serie di potenze.

    Lezione 23.04.2012  Integrale di Riemann: somme inferiori e superiori, l'insieme delle funzioni integrabili è uno spazio vettoriale e l'integrale è lineare, esempi.

    Lezione 24.04.2012  Criterio di integrabilità, composizione di una funzione integrabile e di una Lipschitziana, integrabilità dei prodotti e delle funzioni continue.

    Lezione 07.05.2012  Giustapposizione. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Integrali di funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione.

    Lezione 08.05.2012  Calcolo di integrali e di primitive.

    Lezione 14.05.2012  Integrali e serie. Comportamento delle serie armoniche generalizzate. Integrali impropri.

    Lezione 15.05.2012  Decomposizione in frazioni semplici. Prodotto di Wallis. Sviluppo asintotico del coefficiente binomiale centrale.

    Lezione 21.05.2012  Formula di Stirling. Integrazione di serie di potenze. Funzione Gamma.

    Lezione 22.05.2012  Calcolo della lunghezza di alcune curve. La cicloide. Il problema della brachistocrona.


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