Presentazione corsi di matematica della magistrale e del terzo anno triennale

In questa pagine sono raccolte informazioni sui corsi di matematica per gli studenti della laurea magistrale e del terzo anno della triennale, divise per anno accademico.

(Ricordiamo che per i corsi obbligatori del primo e del secondo anno triennale non è prevista alcuna presentazione)

Anno accademico 2024/2025

La presentazione dei corsi si terrà il 24 settembre 2024. Gli interventi saranno in aula magna, i rinfreschi nelle zone limitrofe all’aula magna (atrio o cortile alle spalle del dipartimento).

In basso trovate informazioni sui corsi di matematica della laurea magistrale e del terzo anno di triennale, raggruppati per aree di ricerca. Si consiglia di visionare queste informazioni prima del 24 settembre (ci potrebbero essere aggiunte nei giorni precedenti), in particolare per le aree di ricerca che non prevedono una presentazione orale.

Si ricorda che gli studenti sono invitati a partecipare ai rinfreschi: questo è il momento per incontrare i docenti e porre loro domande sui corsi.

Ecco l’orario definitivo:

10:00 – 11:00Informazioni su corso di studi, internazionalizzazione e corsi di dottorato
11:00 – 12:30Rinfresco per i corsi delle aree Algebra, Combinatoria, Didattica e storia della matematica, Dinamica olomorfa e geometria complessa, Geometria algebrica, Logica matematica, Teoria dei numeri, Teoria di Lie, Topologia algebrica, Topologia e geometria differenziale
14:30 – 15:00Presentazione corsi di Analisi matematica
15:00 – 15:15Presentazione corsi di Probabilità e statistica matematica
15:15 – 15:30Presentazione corsi di Ricerca operativa e ottimizzazione
15:30 – 16:00Presentazione corsi di Analisi numerica
16:00 – 16:15Presentazione corsi di Meccanica celeste
16:15 – 16:30Presentazione corsi di Sistemi dinamici
16:30 – 18:00Rinfresco per i corsi delle aree Analisi, Analisi numerica, Meccanica celeste, Probabilità e statistica matematica, Ricerca operativa e ottimizzazione, Sistemi dinamici

Informazioni sui corsi

Per comodità, trovate qui una tabella con i corsi della triennale e della magistrale attivati a matematica, qui la lista dei corsi di dottorato, e qui le slides sulla mobilità internazionale.

Algebra

Corsi attivati quest’anno
Algebra 2PDF
Algebra superiore APDF
Istituzioni di algebraPDF
Teoria dei campi e teoria di GaloisPDF

Analisi matematica

Corsi attivati quest’anno
Analisi armonicaPDF
Analisi matematica 3PDF
Calcolo delle variazioni BPDF
Elementi di calcolo delle variazioniPDF
Equazioni alle derivate parzialiPDF
Equazioni della fluidodinamicaPDF
Equazioni ellittichePDF
Istituzioni di analisi matematica
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematicaPDF
Teoria della misuraPDF

Analisi numerica

Corsi attivati quest’anno
Calcolo scientifico
Istituzioni di analisi numericaPDF
Metodi di approssimazionePDF
Metodi numerici per catene di MarkovPDF
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie
Metodi numerici per la graficaPDF

Descrizione area

Per gli studenti interessati ad acquisire una formazione avanzata in Analisi Numerica è consigliabile seguire il corso di Calcolo Scientifico (Corso della LT/LM, 60 ore, 6 CFU) e il corso di Istituzioni di Analisi Numerica (Corso della LM, 72 ore, 11 CFU), che completano la formazione di base conseguita nel corso di Analisi Numerica con Laboratorio.

Successivamente, a seconda degli interessi, è possibile scegliere uno o più corsi specialistici.

Per un percorso orientato alla risoluzione numerica di equazioni differenziali e alle loro applicazioni, si consiglia di seguire i corsi:

Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (LT/LM, 48 ore, 6 CFU)
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (LM, 42 ore, 6 CFU)

Per un percorso orientato a specifiche applicazioni dell’algebra lineare numerica a problemi del mondo reale, è possibile scegliere tra i seguenti corsi LM (42 ore, 6 CFU):

Metodi di approssimazione
Metodi numerici per catene di Markov
Metodi numerici per la grafica

Combinatoria

Courses offered this year
Algebraic topology B
(Topologia algebrica B)
PDF
Groups and representations
(Gruppi e rappresentazioni)
PDF

Area description

Combinatorics studies mainly the existence, contruction, enumeration and description of descrete mathematical structures.

While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its “Renaissance” in the 1960’s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.

Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.

This year, at the PhD level (dottorato), two courses will be offered in the second semester:

  • Combinatorics and representations of 0-Hecke algebras
  • Polyhedral geometry: at the intersection of combinatorics, geometry, algebra and optimization

We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.

  • Discrete mathematics
  • Algebraic combinatorics
  • Algebraic topology B
  • Groups and representations
  • Coxeter groups
  • Ultrafilters and nonstandard methods

Other courses with an important combinatorial content are:

  • Discrete and continuous models in probability (offered at Scuola Normale Superiore)
  • Lie algebras and Lie groups (Algebre e gruppi di Lie)
  • Linear Algebraic Groups (Gruppi Algebrici Lineari)

We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):

  • Chromatic symmetric functions: recent advances
  • Combinatorial methods in topology
  • Combinatorial topology and group theory
  • Combinatorics of diagonal coinvariants
  • Combinatorics of the flag variety
  • Mutually enhancing connections between Ergodic Theory, Combinatorics, and Number Theory

Algebraic topology B is a course in Algebraic Topology, covering advanced topics in Topological Combinatorics, like discrete Morse theory and the theory of hyperplane arrangements.

Groups and representations is a fundamental course for Algebraic Combinatorics, which presents the paradigmatic relation between the representation theory of the symmetric group and the corresponding combinatorics.

Didattica e storia della matematica

Corsi attivati quest’anno
Didattica della matematica e nuove tecnologiePDF
Istituzioni di didattica della matematicaVideo
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmeticaPDF
Storia della matematicaPDF

Descrizione area

All’interno del piano di studi in Didattica e Storia della Matematica, si evidenziano i percorsi di specializzazione in:

  • Didattica della matematica
  • Storia della matematica

I corsi “a cavallo” suggeriti per questi percorsi sono:

  • Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Aritmetica
  • Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Geometria

Didattica della Matematica

  • Istituzioni di didattica della matematica (obbligatorio)
  • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (laurea magistrale)
  • Teorie in didattica della matematica (laurea magistrale)
  • Problem Solving (laurea magistrale)
  • Tecnologie per la didattica (laurea triennale / laurea magistrale)
  • Tirocinio didattico (esperienza di tirocinio nelle scuole)

Storia della Matematica

  • Storia della matematica (laurea triennale / laurea magistrale)
  • Storia della matematica antica e della sua tradizione (laurea magistrale)
  • Origine e sviluppo della matematiche moderne (laurea magistrale)
  • Problemi e metodi in storia della matematica (laurea magistrale)

I due corsi di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore intendono offrire una prima prospettiva epistemologica e storica di alcuni concetti di base della Matematica, con qualche spunto di ambito didattico.

Istituzioni di didattica della matematica è il corso base del curriculum didattico che intende condividere gli aspetti di base degli studi in didattica in matematica declinati per i due distinti interessi: ricerca in didattica e insegnamento.

Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica e Teorie in didattica della matematica sono i due corsi specifici per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in didattica della matematica: studiando i problemi, le teorie e gli approcci classici e più innovativi della ricerca in Mathematics Education a livello internazionale.

Tecnologie per la didattica intende mostrare e discutere le potenzialità dell’uso delle tecnologie per l’insegnamento e apprendimento della matematica.

Problem solving intende offrire uno specifico approfondimento dei risultati di ricerca sul problem solving in Mathematics Education.

Il Tirocinio didattico è l’opportunità offerta agli studenti e alle studentesse del curriculum didattico di provare un’esperienza formativa all’interno di scuole secondarie di primo e secondo grado.

Storia della matematica è il corso base per la storia della matematica, nel quale si ripercorrono alcune tappe della nascita del calcolo infinitesimale.

Storia della matematica antica e della sua tradizione e Origine e sviluppo della matematiche moderne sono i due corsi magistrali nei quali si approfondiscono due periodi distinti della storia della matematica.

Problemi e metodi in storia della matematica è il corso specifico per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in storia della matematica.

Dinamica olomorfa e geometria complessa

Corsi attivati quest’anno
Elementi di analisi complessaPDF
Geometria e analisi complessaPDF

Descrizione area

All’interno del piano di studi in Geometria, si evidenzia il percorso di specializzazione in Dinamica olomorfa e geometria complessa.
Gli insegnamenti principali suggeriti nell’a.a. 24/25 per questo percorso sono:

  • Elementi di Analisi Complessa (a cavallo fra laurea triennale e laurea
    magistrale)
  • Geometria e Analisi Complessa (laurea magistrale)

L’insegnamento di Elementi di Analisi Complessa si innesta sull’insegnamento di Geometria 2 fornendo una presentazione accurata dei principali risultati classici di geometria e analisi complessa di una variabile e un’introduzione all’analisi complessa di più variabili; è un insegnamento obbligatorio per chi sceglie il piano di studi in Geometria nella laurea magistrale.
Durante la laurea magistrale, ogni anno viene proposto un insieme diverso di insegnamenti fra cui scegliere, in modo che nel corso dei due anni lo studente possa crearsi un fondamento solido in dinamica olomorfa o in geometria complessa (o in entrambi gli argomenti). Oltre ovviamente a Istituzioni di geometria (che è obbligatorio per tutti i piani di studi in Geometria) per l’a.a. 24/25, è attivato l’insegnamento di Geometria e Analisi Complessa, che prosegue lo studio dell’analisi complessa a più variabili, presenta un’introduzione alle varietà complesse, e introduce elementi della teoria del potenziale.

Anche l’offerta di insegnamenti correlati cambia ogni anno. Nell’a.a. 24/25 altri insegnamenti potenzialmente di interesse sono

  • Geometria algebrica B, in cui viene mostrato come strumenti di analisi complessa possono essere utilizzati per affrontare problemi di geometria algebrica;
  • Geometria Differenziale Complessa, che approfondisce lo studio delle varietà complesse;
  • Geometria Riemanniana, che, pur se in un contesto reale, introduce strumenti indispensabili per lo studio delle varietà complesse, hermitiane e kähleriane.

La Dinamica olomorfa è parte integrante del percorso di specializzazione. Per quanto il corso relativo non sia attivato quest’anno, presenta un’altra importante direzione anche per chi volesse indirizzarsi alla geometria complessa. Per chi volesse iniziare a dirigersi in questa direzione, si segnala il corso di Teoria ergodica.

Geometria algebrica

Courses offered this year
Elliptic curves
(Curve ellittiche)
PDF
Foundations of algebraic geometry
(Elementi di Geometria Algebrica)
PDF
Transcendental methods in complex algebraic geometry
(Geometria algebrica B)
PDF
Toric varieties
(Geometria algebrica F)
PDF
Complex differential geometryPDF

Area description

There will be also the following PhD course:

Derived Categories and Applications to Geometric Representation Theory

Algebraic geometry began as the branch of mathematics focused on studying the geometry of the zero loci of systems of multivariate polynomials, known as algebraic varieties, in affine or projective space. From the outset, it was evident that a deep understanding of these topics requires analyzing the intrinsic properties of the objects, adopting a geometric perspective, and employing a robust algebraic formalism.

Today, algebraic geometry is not primarily concerned with the specific equations describing these spaces. Instead, the focus has shifted to the study of abstract properties and the classification of algebraic varieties (and related objects). This is often achieved by associating suitable algebraic structures or invariants to geometric objects, much like in algebraic topology. The field has strong connections to other areas of mathematics, such as commutative algebra (often seen as a “local” version of algebraic geometry), complex geometry, number theory, representation theory, and mathematical physics.

Key tools for this study include several theories and frameworks developed in the 20th century, such as category theory, the language of schemes, sheaf theory, and vector bundle techniques, among others.

At the University of Pisa, we offer an introductory course on the Foundations of Algebraic Geometry (Elementi di Geometria Algebrica) along with several courses (some of which are not offered every year) covering different aspects of the field:

Scheme Theory (Geometria Algebrica A)
Transcendental methods in complex algebraic geometry (Geometria Algebrica B) – offered this year
Riemann Surfaces and Algebraic curves (Geometria Algebrica C)
Abelian varieties (Geometria Algebrica D)
Complex Algebraic surfaces (Geometria Algebrica E)
Toric geometry (Geometria Algebrica F) – offered this year
Hodge theory (Geometria Algebrica G)
Complex differential geometry – offered this year
Elliptic curves – offered this year

This year, we are offering the PhD course Derived Categories and Applications to Geometric Representation Theory. The derived category of a variety is one of its most sophisticated invariants, capturing deep aspects of its geometry. Moreover, derived categories provide a key example of triangulated categories, often viewed as “noncommutative” analogs of varieties. This course will give an introduction to the theory of triangulated categories, covering essential topics such as t-structures, tilting, and more. For additional details, please visit the PhD courses webpage.

Logica matematica

Corsi attivati quest’anno
Elementi di teoria degli insiemiPDF
Logica matematica

Meccanica celeste

Corsi attivati quest’anno
Determinazione orbitalePDF
Elementi di meccanica celestePDF
Istituzioni di fisica matematicaPDF
Meccanica celestePDF
Meccanica spazialePDF

Descrizione area

All’interno del curriculum applicativo della laurea magistrale è possibile acquisire una formazione avanzata in Meccanica Celeste. I corsi suggeriti per questo percorso ed erogati nell’anno accademico 2024/2025 sono:

•   Elementi di meccanica celeste (terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale, 6 CFU, 48h, II semestre)
•   Istituzioni di Fisica Matematica (laurea magistrale, 11 CFU, 72h, I semestre)
•   Determinazione orbitale  (laurea magistrale, 6 CFU, 42h, I semestre)
•   Meccanica celeste (laurea magistrale, 6 CFU, 42h, II semestre)
•   Meccanica spaziale (laurea magistrale, 6 CFU, 42h, II semestre)

E’ consigliabile seguire anche corsi delle aree Sistemi Dinamici e Analisi Numerica.

La meccanica celeste è quella parte della matematica che si occupa dello studio del moto dei corpi celesti. Il problema matematico per eccellenza della meccanica celeste è prevedere il moto di N corpi massivi, che sono visti come particelle puntiformi, che interagiscono tra loro attraverso la forza di attrazione gravitazionale di Newton. Il caso più semplice, rappresentato dal problema dei due corpi (N = 2), può essere completamente risolto. D’altro canto, per N > 2 il problema non ha in generale una soluzione in forma chiusa. Altri problemi interessanti sorgono quando si suppone che i corpi abbiano una dimensione finita, come ad esempio lo studio degli effetti prodotti dalle maree. I concetti di base sono affrontati nel corso di Elementi di meccanica celeste, mentre negli altri corsi si approfondiscono diversi argomenti, sia teorici che applicativi (problema degli N-corpi e sue singolarità, determinazione delle orbite di asteroidi e monitoraggio d’impatto, astrodinamica, missioni spaziali,…)

I corsi Elementi di meccanica celeste, Istituzioni di Fisica Matematica e Determinazione orbitale sono erogati ogni anno, gli altri due (insieme al corso Dinamica del Sistema Solare erogato nel 2023/2024) sono erogati a seconda della disponibilità dei docenti.

Probabilità e statistica matematica

Corsi attivati quest’anno
Analisi dei datiPDF
Analisi su spazi gaussianiPDF
Introduzione alla statistica computazionalePDF
Istituzioni di probabilitàPDF
ProbabilitàPDF
Statistica matematica
Teoria della misuraPDF

Descrizione area

Nel piano di studi in Probabilità e Statistica si possono identificare due percorsi principali, complementari e non necessariamente alternativi, focalizzati rispettivamente su:

  • Probabilità e analisi stocastica, legato ai temi di ricerca su evoluzioni stocastiche, problemi variazionali in probabilità e processi stocastici per reti di reazioni chimiche;
  • Statistica matematica, legato al tema di ricerca su metodi probabilistici in statistical learning.

I corsi

  • Probabilità (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o il prima possibile nel corso della laurea magistrale);
  • Statistica matematica (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale);

forniscono una preparazione di base rigorosa nei rispettivi ambiti.
I corsi suggeriti per il percorso di Probabilità e analisi stocastica sono:

  • Probabilità;
  • Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
  • corsi avanzati di probabilità:
    • Probabilità superiore;
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (attivato nell’anno 2023/24);
    • Processi stocastici;
    • Aspetti matematici nella computazione quantistica (attivato nell’anno 2023/24);

I corsi suggeriti per il percorso Statistica matematica sono:

  • Statistica matematica;
  • Probabilità;
  • Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
  • Statistica Superiore;
  • Analisi dei dati;

Probabilità: il corso approfondisce gli aspetti teorici della probabilità quali l’indipendenza, i teoremi limite, ponendoli su un piano generale e rigoroso, e fornisce una prima introduzione alle catene di Markov. Il corso è una imprescindibile tappa sia per un percorso orientato alla probabilità, sia alla statistica.
Statistica matematica: il corso pone le basi rigorose della statistica matematica, quali la teoria degli stimatori, dei test, della statistica Bayesiana che, a sua volta, pone le basi della teoria dell’apprendimento statistico. Il corso è il punto di inizio di un percorso orientato alla statistica, è fortemente consigliato anche per chi è orientato alla probabilità, ma è consigliato anche come interesse generale, perché attualmente la statistica entra in numerosi ambiti, di ricerca, di insegnamento e nel mondo del lavoro. È consigliato seguire questo corso prima di Analisi dei dati.
Istituzioni di probabilità: Il corso introduce concetti fondazionali nell’ambito della probabilità avanzata: processi stocastici (generalmente a tempo continuo) che descrivono fenomeni di evoluzione aleatori: moto browniano, martingale, equazioni differenziali stocastiche.
Corsi avanzati di probabilità: (Probabilità Superiore, Equazioni differenziali stocastiche, Processi stocastici): approfondiscono argomenti avanzati di probabilità, processi stocastici o analisi stocastica. Il programma varia in base all’anno ed ai docenti.
Aspetti matematici nella computazione quantistica: Il corso introduce i concetti base della meccanica quantistica in dimensione finita (quindi richiede solo nozioni di algebra lineare e probabilità elementare). Si focalizza sugli algoritmi quantistici più importanti, come Deutch-Jozsa, Grover e Shor per la fattorizzazione di interi. Infine, si esaminano gli sviluppi più recenti, come gli algoritmi per risolvere sistemi di equazioni lineari, le passeggiate aleatorie quantistiche, con eventuali cenni al machine learning quantistico.
Statistica Superiore: Il corso è una introduzione alle tematiche di base dello statistical learning: regressione lineare, metodi di riduzione dimensionale (PCA), metodi elementari di classificazione, clustering, analisi di serie storiche. Durante il corso è enfatizzata la parte computazionale, svolta per mezzo del software statistico R. Il corso è mutuato da un insegnamento del CdS in Ingegneria Gestionale, seppur con un esame differente, e si svolge presso le aule della scuola di Ingegneria. Non sono richiesti prerequisiti sostanziali oltre ai cenni di statistica già visti nel corso di EPS.
Analisi dei Dati: Il corso prevede una prima parte nella quale si sviluppano alcuni aspetti teorici sui fondamenti della teoria dell’apprendimento automatico. Nella seconda parte si esaminano alcuni dei principali metodi di apprendimento, principalmente focalizzati sul problema della classificazione, dalla regressione lineare alle support vector machines, random forest, reti neurali. È consigliato aver seguito il corso di Statistica Matematica. Il corso di Statistica Superiore non è necessario, ma aiuta (nel caso, andrebbe seguito e sostenuto prima).

Ricerca operativa e ottimizzazione

Corsi attivati quest’anno
Ricerca operativaPDF
Teoria dei giochiPDF
Teoria e metodi dell’ottimizzazionePDF

Descrizione area

La ricerca operativa è un ambito multidisciplinare che si occupa di sviluppare e analizza-
re modelli e metodi matematici per la risoluzione di complessi problemi decisionali di natura
quantitativa. Da un lato richiede la capacità di sviluppare modelli adeguati ai problemi og-
getto di studio, dall’altro richiede lo studio delle proprietà matematiche di classi di modelli e
lo sviluppo di metodi computazionali per la loro risoluzione. Poiché l’obiettivo è generalmente
quello di individuare soluzioni in qualche senso ottimali per il problema, i modelli più utilizzati
prendono la forma di problemi di ottimizzazione: si tratta pertanto di massimizzare una fun-
zione che rappresenti ad esempio guadagni, rendimenti, prestazioni (od altri benefici), oppure
di minimizzare una funzione che rappresenti, ad esempio, spese, perdite, rischi (od altri costi);
in entrambi i casi lo studio della funzione è ristretto ad una opportuna regione del suo dominio
che viene individuata da opportuni vincoli che descrivono l’insieme delle soluzioni ammissibili
per il problema.
Oltre alle applicazioni in campi molto diversi che spaziano, ad esempio, dalla logistica ai
trasporti, dalle telecomunicazioni e dalla ricostruzione di segnali alla medicina, dall’economia
e dalla finanza alla biologia, la ricerca operativa e l’ottimizzazione hanno forti legami con altre
aree della matematica (ad esempio: analisi numerica, calcolo delle variazioni, controllo ottimo,
statistica) e dell’informatica (ad esempio: intelligenza articiale, apprendimento automatico,
analisi dei dati, grafica computerizzata).
Sebbene l’ottimizzazione rappresenti una delle aree più antiche della matematica e sia
stata codificata e studiata in termini più moderni dagli stessi pionieri del calcolo differenziale,
lo studio della teoria e lo sviluppo di metodi risolutivi hanno ricevuto forti impulsi dalle
applicazioni in campo industriale, militare ed economico soprattutto a partire degli anni 40
del ventesimo secolo fino a delineare ai giorni nostri una disciplina molto ampia e consolidata.
Il principale obiettivo dei corsi in questa area è fornire un’estesa introduzione alle principali
tecniche modellistiche tipiche della ricerca operativa e alle principali classi di problemi di
ottimizzazione sia dal punto di vista teorico che algoritmico, nell’ottica di mettere in grado gli
studenti di affrontare ulteriori studi in materia anche a livello individuale. L’offerta didattica
si articola nei seguenti tre insegnamenti (per una descrizione dettagliata si rimanda alle loro
schede di presentazione).

  • Ricerca operativa: tecniche di modellazione; ottimizzazione su reti; ottimizzazione lineare e lineare intera.
  • Teoria e metodi dell’ottimizzazione: ottimizzazione nonlineare.
  • Teoria dei giochi: problemi decisionali con più decisori (sistemi multiagente), problemi di ottimizzazione interdipendenti ed equilibri.

Sistemi dinamici

Corsi attivati quest’anno
Fisica matematicaPDF
Istituzioni di fisica matematicaPDF
Meccanica superiorePDF
Sistemi dinamiciPDF
Teoria ergodicaPDF

Descrizione area

I corsi suggeriti per questo percorso sono:

  • Sistemi Dinamici (terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale)
  • Istituzioni di Fisica Matematica (laurea magistrale)
  • Fisica Matematica (laurea magistrale)
  • Teoria Ergodica (laurea magistrale)
  • Meccanica Superiore (laurea magistrale)
  • Dinamica Iperbolica (laurea magistrale)

La teoria dei sistemi dinamici si occupa di descrivere le proprietà qualitative dell’azione di un gruppo su uno spazio. Esempi classici sono rappresentati dal flusso di un sistema di equazioni differenziali e dall’iterazione di una funzione, esempi in cui il gruppo che agisce, continuo nel primo caso e discreto
nel secondo, può essere interpretato come un “tempo” e la sua azione determina quindi l’evoluzione temporale di una condizione iniziale. A questi esempi si possono quindi ricondurre i modelli matematici che studiano le evoluzioni di sistemi meccanici, di sistemi biologici, ecc. Sono però esempi di sistemi dinamici anche azioni più astratte, come l’azione di un gruppo di matrici su sé stesso tramite moltiplicazione. Scopo dei corsi indicati è quello di fornire, a partire dalle basi, un’ampia panoramica delle moderne tecniche di studio dei sistemi dinamici, con particolare interesse alla caratterizzazione, anche quantitativa, dei fenomeni di natura caotica (per i curiosi https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory
e https://www.chaos-math.org/it.html) attraverso lo studio di esempi espliciti, ma anche con uno sguardo alle applicazioni al “mondo reale”.

Il corso Sistemi Dinamici è il primo corso che lo studente può seguire, e contiene gli aspetti di base della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e della dinamica discreta dal punto di vista topologico. Durante la laurea magistrale, lo studente può approfondire l’argomento inizialmente con il corso Fisica Matematica, che è pensato come un proseguimento del corso di Istituzioni di Fisica Matematica. Nel corso Fisica Matematica si studia in particolare la dinamica di sistemi vicini all’integrabilità, e si mette in evidenza la relazione tra le soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (e i sistemi meccanici descritti) e la dinamica a tempo discreto. Gli altri corsi di sistemi dinamici della laurea magistrale sono dedicati allo studio delle proprietà topologiche, statistiche e geometriche dei sistemi dinamici discreti, e si useranno anche strumenti dell’analisi funzionale, della teoria della misura e della
geometria differenziale. Si rimanda alla descrizione dei singoli corsi per maggiori dettagli.


I corsi Sistemi Dinamici e Fisica Matematica sono attivati ogni anno. I corsi Teoria Ergodica, Meccanica Superiore e Dinamica Iperbolica vengono invece attivati almeno una volta ogni biennio, in modo da garantire a tutti gli studenti di poterli seguire una volta durante il percorso della laurea magistrale. Inoltre non ci sono particolari propedeuticità tra questi corsi, l’unica indicazione è di seguire il corso Sistemi Dinamici prima degli altri.

Teoria dei numeri

Corsi attivati quest’anno
Curve ellittichePDF
Teoria dei campi e teoria di GaloisPDF

Descrizione area

La teoria dei numeri è un’area molto vasta, all’interno della quale ci si può muovere in direzioni diverse: a fianco dei classici approcci algebrici ed analitici, nella seconda metà del secolo scorso si sono sviluppate connessioni sempre più strette con la geometria algebrica.
Fra le applicazioni principali della teoria dei numeri rivestono poi una particolare importanza quelle legate alla crittografia.

Elenchiamo qui sotto i principali corsi offerti dal dipartimento nell’area della teoria dei numeri e della crittografia. Sono indicati fra parentesi quadre i corsi ad attivazione meno regolare.

I corsi di Teoria algebrica dei numeri 1 e 2 e di Teoria di Galois costituiscono percorsi interconnessi, ma sostanzialmente indipendenti. Possono essere seguiti in qualsiasi ordine, e nel loro insieme offrono una visione coerente della comprensione attuale dell’aritmetica in domini diversi da quello dei numeri interi.

Il corso di teoria di Galois amplia e approfondisce i concetti introdotti nel corso di Algebra 1, concentrandosi in particolare sulla teoria di Galois nel contesto delle estensioni algebriche di grado infinito. Il corso di Teoria algebrica dei numeri 1 si concentra sullo studio delle proprietà aritmetiche dei campi di numeri (estensioni finite del campo dei numeri razionali), esaminando in particolare le generalizzazioni appropriate del concetto di fattorizzazione unica in questo contesto.

Il corso di Teoria algebrica dei numeri 2 si focalizza invece sull’aritmetica dei campi p-adici, strutture ottenute mediante una procedura di passaggio al limite di congruenze modulo potenze di un numero primo p. Nonostante la loro struttura risulti più semplice rispetto a quella dei campi di numeri, l’aritmetica dei campi p-adici fornisce informazioni rilevanti anche per lo studio di questi ultimi.
Infine, il corso di Curve ellittiche introduce questi oggetti (particolari curve algebriche proiettive) ed esamina le interazioni fra le loro proprietà aritmetiche e geometriche. Le curve ellittiche figurano prominentemente anche nel corso di Metodi matematici della crittografia, nel quale viene analizzata in particolare l’interazione fra l’aritmetica delle curve ellittiche e quella dei campi finiti.

Per lo studente interessato a quest’area di ricerca può essere utile frequentare i corsi di Algebra 2 e Istituzioni di algebra, che, pur non essendo prerequisiti stringenti per alcuno dei corsi elencati sotto, forniscono certamente delle solide basi teoriche che possono facilitare la comprensione di altri argomenti.

=== Teoria dei numeri algebrica ===
Teoria dei campi e teoria di Galois
Teoria algebrica dei numeri 1
Teoria algebrica dei numeri 2
Curve ellittiche
[Rappresentazioni di Galois p-adiche]
[Campi ciclotomici]
[Teoria algebrica dei numeri 3]

=== Teoria dei numeri analitica ===
Teoria dei numeri elementare
Teoria analitica dei numeri A
Teoria analitica dei numeri B
[Funzioni L]
[Forme modulari]

=== Applicazioni alla crittografia ===
Metodi matematici della crittografia
[Crittografia post-quantistica]
[Teoria dei codici / Teoria dei codici e crittografia]

Teoria di Lie

Corsi attivati quest’anno
Gruppi algebrici lineariPDF
Gruppi e rappresentazioniPDF

Descrizione area

Alcuni temi di ricerca sviluppati in Dipartimento riguardano la Teoria di Lie. Con questa denominazione indichiamo sia argomenti che riguardano la teoria delle rappresentazioni di strutture algebriche quali, per esempio, le algebre di Lie o i gruppi, sia la manifestazione di queste strutture in altre aree della Matematica. In questa accezione, sia i problemi affrontati, che le tecniche usate in Teoria di Lie, possono avere differenti sfumature a seconda della struttura algebrica studiata o degli ambiti in cui essa appare. D’altro canto, l’idea unificante di questa area di ricerca è come la presenza di una simmetria in un dato problema matematico possa essere una chiave fondamentale per la sua soluzione o per una sua migliore comprensione. Per l’anno 2024 saranno attivati i seguenti corsi:

  • Gruppi e Rappresentazioni
  • Gruppi Algebrici Lineari
  • Derived Categories and applications to Geometric Representation Theory (corso di dottorato in inglese ma anche aperto agli studenti della laurea magistrale)

Inoltre, nell’anno 2023/2024 è stato attivato anche un corso di lettura sulla categoria O. Durante l’anno accademico 2024/2025 verrà attivato un corso di lettura su un argomento differente.

Gruppi e rappresentazioni è un corso introduttivo alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti. All’interno del corso viene sviluppato in dettaglio l’esempio molto importante del gruppo simmetrico.

I gruppi algebrici lineari sono i sottogruppi di GL(n) definiti da equazioni polinomiali. Di questi fanno parte quasi tutti i gruppi che più frequentemente compaiono nelle applicazioni. Il corso ha un carattere introduttivo e fondazionale.

Il corso Derived Categories and applications to Geometric Representation Theory” è un’introduzione alle categorie derivate e i loro legami con certi ambiti della Teoria di Lie (azione del gruppo delle trecce, rappresentazioni di algebre associative, ecc.). 

Infine, per chi è interessato a questi temi di ricerca, tra quelli attivati nel prossimo anno altri corsi particolarmente affini o utili per lo studio della teoria di Lie potrebbero essere

  • Algebra 2
  • Istituzioni di algebra
  • Istituzioni di geometria
  • Elementi di geometria algebrica
  • Geometria riemmanniana
  • Elementi di topologia algebrica
  • Geometria Algebrica B
  • Topologia algebrica B
  • An introduction to Khovanov-Rozansky homologies and their applications (per il dottorato)

Aggiungiamo un breve commento su come si colloca l’offerta di quest’anno con l’offerta didattica potenziale del dipartimento su questo argomento.

Insieme al corso Algebre e gruppi di Lie, quest’anno non attivo, Gruppi e rappresentazioni e Gruppi Algebrici Lineari costituiscono l’ossatura fondamentale dell’offerta didattica per questi temi di ricerca. Cercheremo di attivare questi corsi con una discreta regolarità. Altri corsi riguardanti questo tema di ricerca che  potrebbero essere attivati sono i seguenti:

  • Teoria delle rappresentazioni A
  • Gruppi di Coxeter
  • D-moduli
  • Forme modulari

Topologia algebrica

Corsi attivati quest’anno
Elementi di topologia algebricaPDF
Topologia algebrica BPDF

Descrizione area

La topologia algebrica si occupa dello studio delle proprietà degli spazi topologici attraverso l’analisi di invarianti descritti da oggetti algebrici. 

Corsi suggeriti in questo contesto sono:

  • Elementi di Topologia Algebrica (terzo anno della laurea triennale)
  • Topologia Algebrica A (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2024/25)
  • Topologia Algebrica B (laurea magistrale)

Mentre il corso di Elementi di Topologia Algebrica offre una prima introduzione generale, il corso Topologia Algebrica A offre un approfondimento rivolto verso la teoria dell’omotopia, e il corso Topologia Algebrica B offre un approfondimento rivolto verso la combinatoria. I due corsi avanzati vengono di solito attivati ad anni alterni.

Molto spesso gli argomenti di topologia algebrica tradizionalmente studiati presso l’Università di Pisa si affacciano verso la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni. Infatti è frequente studiare oggetti topologici nati dalla combinatoria o dalla teoria delle rappresentazioni, così come la combinatoria e le rappresentazioni possono illuminare con un nuovo punto di vista lo studio degli invarianti di oggetti topologici. 

Risulta quindi naturale suggerire alcuni corsi da affiancare a questo percorso:

  • Gruppi e rappresentazioni (terzo anno della laurea triennale)
  • Algebre e gruppi di Lie (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2024/25)
  • Gruppi di Coxeter (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2024/25) 

Solitamente il corso di Algebre e gruppi di Lie viene attivato con cadenza biennale.

Topologia e geometria differenziale

Corsi attivati quest’anno
Geometria e topologia differenzialePDF
Geometria riemannianaPDF
Istituzioni di geometriaPDF
Teoria dei nodi APDF

Area description

Other than the courses listed above, there will be also the following PhD courses:

  • An introduction to Khovanov – Rozansky homologies and their applications
  • Omologia di Heegaard – Floer. Recenti sviluppi e applicazioni

Differential geometry and topology is the branch of mathematics that studies differentiable manifolds. A differentiable manifold is, quite informally, a space that looks locally like the Euclidean n-dimensional space, but which may differ from it in terms of global topology. Differentiable manifolds appear quite naturally in all sectors of mathematics: in mathematical physics as spaces of parameters for a given system, or as models for the universe in general relativity; in algebraic geometry as the zero sets of some polynomials, or more generally as (non-singular) complex or real varieties; in geometric analysis as minimisers of some functional, etc.

We may say that the principal goal of differential topology is to classify manifolds and the way they interact, while the main object of differential geometry is to study Riemannian (or Lorentzian) manifolds: these are differential manifolds that, being equipped with a metric tensor, are in fact  supplied with a whole package of familiar geometric notions like geodesics, volume, and curvature. 

Among the various objects of study in this domain we find non-Euclidean geometries (in particular, elliptic and hyperbolic geometries), symplectic and contact structures, knot theory, and the study of low-dimensional manifolds, that is manifolds of dimension up to 4. There are of course many tight connections with algebraic geometry and topology.

At the University of Pisa we offer a first course in Differential Geometry and Topology (Geometria e Topologia differenziale), which introduces the notion of manifolds, with a focus on curves and surfaces in Euclidean space and on degree theory in arbitrary dimension. This course should then be followed by Istituzioni di geometria which introduces various standard general notions on manifolds (bundles, k-forms, De Rham cohomology, metric tensors, Riemannian curvature). The following master courses are then often available, although not every year:

  • Riemannian geometry (Geometria riemanniana)
  • Hyperbolic geometry (Geometria iperbolica)
  • 3-manifolds (3-varietà)
  • 4-manifolds (4-varietà)
  • Knot theory (Teoria dei nodi)
  • Differential topology (Topologia differenziale)

Courses in nearby areas are of course recommended: in particular we strongly suggest to follow Elements of Algebraic Topology (Elementi di Topologia Algebrica), which introduces homology and cohomology. 

Anno accademico 2023/2024

La presentazione dei corsi si terrà il 26 settembre 2023. Gli interventi saranno in aula magna, i rinfreschi nelle zone limitrofe all’aula magna (atrio o cortile alle spalle del dipartimento).

In basso trovate informazioni sui corsi di matematica della laurea magistrale e del terzo anno di triennale, raggruppati per aree di ricerca. Si consiglia di visionare queste informazioni prima del 26 settembre (ci potrebbero essere aggiunte nei giorni precedenti), in particolare per le aree di ricerca che non prevedono una presentazione orale.

Si ricorda che gli studenti sono invitati a partecipare ai rinfreschi: questo è il momento per incontrare i docenti e porre loro domande sui corsi.

Ecco l’orario definitivo:

10:00 – 11:00Informazioni su corso di studi, internazionalizzazione e corsi di dottorato
11:00 – 12:30Rinfresco per i corsi delle aree Algebra, Combinatoria, Didattica e storia della matematica, Dinamica olomorfa e geometria complessa, Geometria algebrica, Logica matematica, Teoria dei numeri, Topologia algebrica, Topologia e geometria differenziale
14:30 – 15:00Presentazione corsi di Analisi
15:00 – 15:15Presentazione corsi di Probabilità e statistica matematica
15:15 – 15:30Presentazione corsi di Ricerca operativa e ottimizzazione
15:30 – 16:00Presentazione corsi di Analisi numerica
16:00 – 16:15Presentazione corsi di Meccanica celeste
16:15 – 16:30Presentazione corsi di Sistemi dinamici
16:30 – 18:00Rinfresco per i corsi delle aree Analisi, Analisi numerica, Meccanica celeste, Probabilità e statistica matematica, Ricerca operativa e ottimizzazione, Sistemi dinamici

Informazioni sui corsi

Per comodità, trovate qui una tabella con i corsi della triennale e della magistrale attivati a matematica, qui la lista dei corsi di dottorato, e qui le slides sulla mobilità internazionale.

Algebra

Corsi attivati quest’anno
Algebra 2PDF
Algebra superiore APDF
Istituzioni di algebraPDF
Gruppi e rappresentazioniPDF

Analisi

Corsi attivati quest’anno
Analisi armonicaPDF
Analisi matematica 3PDF
Analisi realePDF
Analisi superiore APDF
Analisi superiore BPDF
Calcolo delle variazioni APDF
Elementi di calcolo delle variazioniPDF
Equazioni alle derivate parzialiPDF
Equazioni ellittichePDF
Istituzioni di analisi matematicaPDF
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematicaPDF
Spazi di SobolevPDF

Analisi numerica

Corsi attivati quest’anno
Aspetti matematici della computazione quantisticaPDF
Calcolo scientificoPDF
Istituzioni di analisi numericaPDF
Metodi di approssimazionePDF
Metodi numerici per catene di MarkovPDF
Metodi numerici per equazioni alle derivate parzialiPDF
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinariePDF
Metodi numerici per la graficaPDF

Descrizione area

Per gli studenti interessati ad acquisire una formazione avanzata in Analisi Numerica è consigliabile seguire il corso di Calcolo Scientifico (Corso LT/LM, 60 ore, 6 CFU) e il corso di Istituzioni di Analisi Numerica (Corso LM, 72 ore, 11 CFU), che completano la formazione di base conseguita nel corso di Analisi Numerica con Laboratorio.

Successivamente, a seconda degli interessi, è possibile scegliere uno o più corsi specialistici.

Per un percorso orientato alla risoluzione numerica di equazioni differenziali, si consiglia di seguire i corsi:

Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (LT/LM, 48 ore, 6 CFU)
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (LM, 42 ore, 6 CFU)

Per un percorso orientato a specifiche applicazioni dell’algebra lineare numerica a problemi del mondo reale, è possibile scegliere tra i seguenti corsi LM (42 ore, 6 CFU):

Metodi di approssimazione
Metodi numerici per catene di Markov
Metodi numerici per la grafica
Aspetti matematici della computazione quantistica

Combinatoria

Courses offered this year
Algebraic topology B
(Topologia algebrica B)
PDF
Coxeter groups
(Gruppi di Coxeter)
PDF
Groups and representations
(Gruppi e rappresentazioni)
PDF
Ultrafilters and nonstandard methods
(Ultrafiltri e metodi non-standard)
PDF

Area description

Combinatorics studies mainly the existence, contruction, enumeration and description of descrete mathematical structures.

While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its “Renaissance” in the 1960’s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.

Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.

We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.

  • Discrete mathematics
  • Algebraic combinatorics
  • Algebraic topology B
  • Coxeter groups
  • Groups and representations
  • Ultrafilters and nonstandard methods

Other courses with an important combinatorial content are:

  • Discrete and continuous models in probability (offered at Scuola Normale Superiore)
  • Lie algebras and Lie groups (Algebre e gruppi di Lie)

We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):

  • Chromatic symmetric functions: recent advances
  • Combinatorial methods in topology
  • Combinatorial topology and group theory
  • Combinatorics of diagonal coinvariants
  • Combinatorics of the flag variety
  • Mutually enhancing connections between Ergodic Theory, Combinatorics, and Number Theory

Groups and representations is a fundamental course for Algebraic Combinatorics, which presents the paradigmatic relation between the representation theory of the symmetric group and the corresponding combinatorics.

Coxeter groups is a fundamental course both for Algebraic and Topological Combinatorics, which contains the theory of Coxeter groups, approached from the points of view of Algebra, Combinatorics, Geometry and Topology.

Algebraic topology B is a course in Algebraic Topology, covering advanced topics in Topological Combinatorics, like discrete Morse theory and the theory of hyperplane arrangements.

Ultrafilters and nonstandard methods is an introductory course to the nonstandard methods in Extremal Combinatorics, in particular with applications to Ramsey theory.

Didattica e storia della matematica

Corsi attivati quest’anno
Istituzioni di didattica della matematicaVideo
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometriaPDF
Origini e sviluppo delle matematiche modernePDF
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematicaPDF
Storia della matematicaPDF

Descrizione area

All’interno del piano di studi in Didattica e Storia della Matematica, si evidenziano i percorsi di specializzazione in:

  • Didattica della matematica
  • Storia della matematica

I corsi “a cavallo” suggeriti per questi percorsi sono:

  • Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Aritmetica
  • Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Geometria

Didattica della Matematica

  • Istituzioni di didattica della matematica (obbligatorio)
  • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (laurea magistrale)
  • Teorie in didattica della matematica (laurea magistrale)
  • Problem Solving (laurea magistrale)
  • Tecnologie per la didattica (laurea triennale / laurea magistrale)
  • Tirocinio didattico (esperienza di tirocinio nelle scuole)

Storia della Matematica

  • Storia della matematica (laurea triennale / laurea magistrale)
  • Storia della matematica antica e della sua tradizione (laurea magistrale)
  • Origine e sviluppo della matematiche moderne (laurea magistrale)
  • Problemi e metodi in storia della matematica (laurea magistrale)

I due corsi di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore intendono offrire una prima prospettiva epistemologica e storica di alcuni concetti di base della Matematica, con qualche spunto di ambito didattico.

Istituzioni di didattica della matematica è il corso base del curriculum didattico che intende condividere gli aspetti di base degli studi in didattica in matematica declinati per i due distinti interessi: ricerca in didattica e insegnamento.

Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica e Teorie in didattica della matematica sono i due corsi specifici per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in didattica della matematica: studiando i problemi, le teorie e gli approcci classici e più innovativi della ricerca in Mathematics Education a livello internazionale.

Tecnologie per la didattica intende mostrare e discutere le potenzialità dell’uso delle tecnologie per l’insegnamento e apprendimento della matematica.

Problem solving intende offrire uno specifico approfondimento dei risultati di ricerca sul problem solving in Mathematics Education.

Il Tirocinio didattico è l’opportunità offerta agli studenti e alle studentesse del curriculum didattico di provare un’esperienza formativa all’interno di scuole secondarie di primo e secondo grado.

Storia della matematica è il corso base per la storia della matematica, nel quale si ripercorrono alcune tappe della nascita del calcolo infinitesimale.

Storia della matematica antica e della sua tradizione e Origine e sviluppo della matematiche moderne sono i due corsi magistrali nei quali si approfondiscono due periodi distinti della storia della matematica.

Problemi e metodi in storia della matematica è il corso specifico per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in storia della matematica.

Dinamica olomorfa e geometria complessa

Corsi attivati quest’anno
Analisi complessa BPDF
Dinamica olomorfaPDF
Elementi di analisi complessaPDF

Descrizione area

All’interno del piano di studi in Geometria, si evidenzia il percorso di specializzazione in Dinamica olomorfa e geometria complessa.
Gli insegnamenti suggeriti per questo percorso sono:

  • Elementi di Analisi Complessa (a cavallo fra laurea triennale e laurea
    magistrale)
  • Dinamica Olomorfa (laurea magistrale)
  • Analisi Complessa B (laurea magistrale)
  • Dinamica Iperbolica (laurea magistrale)

L’insegnamento di Elementi di Analisi Complessa si innesta sull’insegnamento di Geometria 2 fornendo una presentazione accurata dei principali risultati classici di geometria e analisi complessa di una variabile e un’introduzione all’analisi complessa di più variabili; è un insegnamento obbligatorio per chi sceglie il piano di studi in Geometria nella laurea magistrale.
Durante la laurea magistrale, ogni anno viene proposto un insieme diverso di insegnamenti fra cui scegliere, in modo che nel corso dei due anni lo studente possa crearsi un fondamento solido in dinamica olomorfa o in geometria complessa (o in entrambi gli argomenti).
L’insegnamento di Dinamica olomorfa, importante anche per chi volesse indirizzarsi alla geometria complessa, presenta la dinamica dei polinomi e delle applicazioni razionali in una variabile complessa, dalle basi fino ad argomenti di ricerca contemporanea. Si coordina bene con altri insegnamenti dedicati ai sistemi dinamici offerti nella laurea magistrale. Nell’a.a. 23/24 sarà disponibile l’insegnamento di Dinamica iperbolica, che pur essendo principalmente dedicato a temi di dinamica reale fornisce strumenti, idee e questioni importanti anche in dinamica complessa, confermando l’intrinseca interdisciplinarità del
campo dei sistemi dinamici in generale. Nei prossimi a.a. saranno attivati altri insegnamenti correlati, quali, per esempio, Sistemi dinamici discreti oppure Teoria ergodica.
Per lo studio della geometria complessa (oltre ovviamente a Istituzioni di geometria, che è obbligatorio per tutti i piani di studi in Geometria) è consigliato l’insegnamento di Analisi complessa B, che partendo da uno studio approfondito delle proprietà algebriche dello spazio delle funzioni olomorfe di più variabili arriva a studiare le proprietà geometriche e coomologiche degli spazi analitici. Anche in questo caso ogni a.a. l’offerta di insegnamenti correlati cambia. Nell’a.a. 23/24 altri insegnamenti potenzialmente di interesse sono Geometria algebrica C, che, anche se più da un punto di vista algebrico presenta la teoria di base delle superfici di Riemann, cioè delle varietà complesse di dimensione 1; Geometria algebrica B, in cui viene mostrato come strumenti di analisi complessa possono essere utilizzati per affrontare problemi
di geometria algebrica; e Geometria Riemanniana, che, pur se in un contesto reale, introduce strumenti indispensabili per lo studio delle varietà complesse, hermitiane e kähleriane.

Geometria algebrica

Courses offered this year
Foundations of algebraic geometry
(Elementi di Geometria Algebrica)
PDF
Transcendental methods in complex algebraic geometry
(Geometria algebrica B)
PDF
Riemann surfaces and algebraic curves
(Geometria algebrica C)
PDF
Complex differential geometryPDF

Area description

There will be also the following PhD courses:

p-adic Galois Representations
Quotients and Moduli Spaces

Algebraic geometry started out as the branch of mathematics which studies the geometry of the zero loci of systems of multivariate polynomials (“algebraic varieties”) in affine or projective space. From the very beginning, it was clear that the the key ingredients to study these topics are understanding of the intrinsic properties of the objects, a geometric point of view and a solid algebraic formalism.

Today, algebraic geometry is not primarily concerned with the equations that describe the spaces, but most of the focus is rather on the study of abstract properties and classification of algebraic varieties (and related objects). This is sometimes achieved by assigning to the geometric objects some appropriate algebraic structures or invariants (much as it happens in algebraic topology, for example). The field has strong connections to many other areas of mathematics, for example commutative algebra (which is in some sense the “local” version of algebraic geometry), complex geometry, number theory, representation theory, mathematical physics etc.

Fundamental tools for this study are several theories and languages developed in the XX century, such as the theory of categories, the language of schemes, sheaf theory and vector bundles techniques, among many others.

At the University of Pisa we offer a first course on the Foundations of Algebraic Geometry (Elementi di Geometria Algebrica) and many courses (only some of which are offered in any given year) on several aspects of Algebraic Geometry:

Scheme Theory (Geometria Algebrica A)
Transcendental methods in complex algebraic geometry (Geometria Algebrica B)
Riemann Surfaces and Algebraic curves (Geometria Algebrica C)
Abelian varieties (Geometria Algebrica D)
Complex Algebraic surfaces (Geometria Algebrica E)
Toric geometry (Geometria Algebrica F)
Hodge theory (Geometria Algebrica G)
Complex differential geometry

Logica matematica

Corsi attivati quest’anno
Elementi di teoria degli insiemiPDF
Laboratorio di formalizzazione di dimostrazioni matematiche tramite il software LeanPDF
Logica matematicaPDF
Teoria degli insiemi BPDF
Ultrafiltri e metodi non-standardPDF

Meccanica celeste

Corsi attivati quest’anno
Determinazione orbitalePDF
Dinamica del sistema solarePDF
Elementi di meccanica celestePDF
Istituzioni di fisica matematicaPDF
Meccanica razionalePDF

Probabilità e statistica matematica

Corsi attivati quest’anno
Analisi dei datiPDF
Aspetti matematici della computazione quantisticaPDF
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioniPDF
Istituzioni di probabilitàPDF
ProbabilitàPDF
Statistica superiorePDF

Descrizione area

Nel piano di studi in Probabilità e Statistica si possono identificare due percorsi principali, complementari e non necessariamente alternativi, focalizzati rispettivamente su:

  • Probabilità e analisi stocastica, legato ai temi di ricerca su evoluzioni stocastiche, problemi variazionali in probabilità e processi stocastici per reti di reazioni chimiche;
  • Statistica matematica, legato al tema di ricerca su metodi probabilistici in statistical learning.

I corsi

  • Probabilità (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o il prima possibile nel corso della laurea magistrale);
  • Statistica matematica (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale);

forniscono una preparazione di base rigorosa nei rispettivi ambiti.
I corsi suggeriti per il percorso di Probabilità e analisi stocastica sono:

  • Probabilità;
  • Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
  • corsi avanzati di probabilità:
    • Probabilità superiore;
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (attivato nell’anno 2023/24);
    • Processi stocastici;
    • Aspetti matematici nella computazione quantistica (attivato nell’anno 2023/24);

I corsi suggeriti per il percorso Statistica matematica sono:

  • Statistica matematica;
  • Probabilità;
  • Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
  • Statistica Superiore;
  • Analisi dei dati;

Probabilità: il corso approfondisce gli aspetti teorici della probabilità quali l’indipendenza, i teoremi limite, ponendoli su un piano generale e rigoroso, e fornisce una prima introduzione alle catene di Markov. Il corso è una imprescindibile tappa sia per un percorso orientato alla probabilità, sia alla statistica.
Statistica matematica: il corso pone le basi rigorose della statistica matematica, quali la teoria degli stimatori, dei test, della statistica Bayesiana che, a sua volta, pone le basi della teoria dell’apprendimento statistico. Il corso è il punto di inizio di un percorso orientato alla statistica, è fortemente consigliato anche per chi è orientato alla probabilità, ma è consigliato anche come interesse generale, perché attualmente la statistica entra in numerosi ambiti, di ricerca, di insegnamento e nel mondo del lavoro. È consigliato seguire questo corso prima di Analisi dei dati.
Istituzioni di probabilità: Il corso introduce concetti fondazionali nell’ambito della probabilità avanzata: processi stocastici (generalmente a tempo continuo) che descrivono fenomeni di evoluzione aleatori: moto browniano, martingale, equazioni differenziali stocastiche.
Corsi avanzati di probabilità: (Probabilità Superiore, Equazioni differenziali stocastiche, Processi stocastici): approfondiscono argomenti avanzati di probabilità, processi stocastici o analisi stocastica. Il programma varia in base all’anno ed ai docenti.
Aspetti matematici nella computazione quantistica: Il corso introduce i concetti base della meccanica quantistica in dimensione finita (quindi richiede solo nozioni di algebra lineare e probabilità elementare). Si focalizza sugli algoritmi quantistici più importanti, come Deutch-Jozsa, Grover e Shor per la fattorizzazione di interi. Infine, si esaminano gli sviluppi più recenti, come gli algoritmi per risolvere sistemi di equazioni lineari, le passeggiate aleatorie quantistiche, con eventuali cenni al machine learning quantistico.
Statistica Superiore: Il corso è una introduzione alle tematiche di base dello statistical learning: regressione lineare, metodi di riduzione dimensionale (PCA), metodi elementari di classificazione, clustering, analisi di serie storiche. Durante il corso è enfatizzata la parte computazionale, svolta per mezzo del software statistico R. Il corso è mutuato da un insegnamento del CdS in Ingegneria Gestionale, seppur con un esame differente, e si svolge presso le aule della scuola di Ingegneria. Non sono richiesti prerequisiti sostanziali oltre ai cenni di statistica già visti nel corso di EPS.
Analisi dei Dati: Il corso prevede una prima parte nella quale si sviluppano alcuni aspetti teorici sui fondamenti della teoria dell’apprendimento automatico. Nella seconda parte si esaminano alcuni dei principali metodi di apprendimento, principalmente focalizzati sul problema della classificazione, dalla regressione lineare alle support vector machines, random forest, reti neurali. È consigliato aver seguito il corso di Statistica Matematica. Il corso di Statistica Superiore non è necessario, ma aiuta (nel caso, andrebbe seguito e sostenuto prima).

Ricerca operativa e ottimizzazione

Corsi attivati quest’anno
Ricerca operativaPDF
Teoria e metodi dell’ottimizzazionePDF

Descrizione area

La ricerca operativa è un ambito multidisciplinare che si occupa di sviluppare e analizzare modelli e metodi matematici per la risoluzione di complessi problemi decisionali di natura quantitativa. Da un lato richiede la capacità di sviluppare modelli adeguati ai problemi oggetto di studio, dall’altro richiede lo studio delle proprietà matematiche di classi di modelli e lo sviluppo di metodi computazionali per la loro risoluzione. Poiché l’obiettivo è generalmente quello di individuare soluzioni in qualche senso ottimali per il problema, i modelli piu utilizzati prendono la forma di problemi di ottimizzazione: si tratta pertanto di massimizzare una funzione che rappresenti ad esempio guadagni, rendimenti, prestazioni (od altri benefici), oppure di minimizzare una funzione che rappresenti, ad esempio, spese, perdite, rischi (od altri costi); in entrambi i casi lo studio della funzione è ristretto ad una opportuna regione del suo dominio che viene individuata da opportuni vincoli che descrivono l’insieme delle soluzioni ammissibili per il problema.

Oltre alle applicazioni in campi molto diversi che spaziano, ad esempio, dalla logistica ai trasporti, dalle telecomunicazioni e dalla ricostruzione di segnali alla medicina, dall’economia e dalla finanza alla biologia, la ricerca operativa e l’ottimizzazione hanno forti legami con altre aree della matematica (ad esempio: analisi numerica, calcolo delle variazioni, controllo ottimo, statistica) e dell’informatica (ad esempio: intelligenza artificiale, apprendimento automatico, analisi dei dati, grafica computerizzata).

Sebbene l’ottimizzazione rappresenti una delle aree più antiche della matematica e sia stata codicata e studiata in termini più moderni dagli stessi pionieri del calcolo differenziale, lo studio della teoria e lo sviluppo di metodi risolutivi hanno ricevuto forti impulsi dalle applicazioni in campo industriale, militare ed economico soprattutto a partire degli anni 40 del ventesimo secolo fino a delineare ai giorni nostri una disciplina molto ampia e consolidata.
Il principale obiettivo dei corsi in questa area è fornire un’estesa introduzione alle principali tecniche modellistiche tipiche della ricerca operativa e alle principali classi di problemi di ottimizzazione sia dal punto di vista teorico che algoritmico, nell’ottica di mettere in grado gli studenti di affrontare ulteriori studi in materia anche a livello individuale. L’offerta didattica si articola nei seguenti tre insegnamenti (per una descrizione dettagliata si rimanda alle loro schede di presentazione).

  • Ricerca operativa: tecniche di modellazione; ottimizzazione su reti; ottimizzazione lineare e lineare intera.
  • Teoria e metodi dell’ottimizzazione: analisi convessa e ottimizzazione nonlineare.
  • Teoria dei giochi: problemi decisionali con più decisori (sistemi multiagente), problemi di ottimizzazione interdipendenti ed equilibri.

Sistemi dinamici

Corsi attivati quest’anno
Dinamica iperbolicaPDF
Fisica matematicaPDF
Istituzioni di fisica matematicaPDF
Meccanica superiorePDF
Sistemi dinamiciPDF

Descrizione area

I corsi suggeriti per questo percorso sono:

  • Sistemi Dinamici (terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale)
  • Istituzioni di Fisica Matematica (laurea magistrale)
  • Fisica Matematica (laurea magistrale)
  • Teoria Ergodica (laurea magistrale)
  • Meccanica Superiore (laurea magistrale)
  • Dinamica Iperbolica (laurea magistrale)

La teoria dei sistemi dinamici si occupa di descrivere le proprietà qualitative dell’azione di un gruppo su uno spazio. Esempi classici sono rappresentati dal flusso di un sistema di equazioni differenziali e dall’iterazione di una funzione, esempi in cui il gruppo che agisce, continuo nel primo caso e discreto
nel secondo, può essere interpretato come un “tempo” e la sua azione determina quindi l’evoluzione temporale di una condizione iniziale. A questi esempi si possono quindi ricondurre i modelli matematici che studiano le evoluzioni di sistemi meccanici, di sistemi biologici, ecc. Sono però esempi di sistemi dinamici anche azioni più astratte, come l’azione di un gruppo di matrici su sé stesso tramite moltiplicazione. Scopo dei corsi indicati è quello di fornire, a partire dalle basi, un’ampia panoramica delle moderne tecniche di studio dei sistemi dinamici, con particolare interesse alla caratterizzazione, anche quantitativa, dei fenomeni di natura caotica (per i curiosi https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory
e https://www.chaos-math.org/it.html) attraverso lo studio di esempi espliciti, ma anche con uno sguardo alle applicazioni al “mondo reale”.

Il corso Sistemi Dinamici è il primo corso che lo studente può seguire, e contiene gli aspetti di base della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e della dinamica discreta dal punto di vista topologico. Durante la laurea magistrale, lo studente può approfondire l’argomento inizialmente con il corso Fisica Matematica, che è pensato come un proseguimento del corso di Istituzioni di Fisica Matematica. Nel corso Fisica Matematica si studia in particolare la dinamica di sistemi vicini all’integrabilità, e si mette in evidenza la relazione tra le soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (e i sistemi meccanici descritti) e la dinamica a tempo discreto. Gli altri corsi di sistemi dinamici della laurea magistrale sono dedicati allo studio delle proprietà topologiche, statistiche e geometriche dei sistemi dinamici discreti, e si useranno anche strumenti dell’analisi funzionale, della teoria della misura e della
geometria differenziale. Si rimanda alla descrizione dei singoli corsi per maggiori dettagli.


I corsi Sistemi Dinamici e Fisica Matematica sono attivati ogni anno. I corsi Teoria Ergodica, Meccanica Superiore e Dinamica Iperbolica vengono invece attivati almeno una volta ogni biennio, in modo da garantire a tutti gli studenti di poterli seguire una volta durante il percorso della laurea magistrale. Inoltre non ci sono particolari propedeuticità tra questi corsi, l’unica indicazione è di seguire il corso Sistemi Dinamici prima degli altri.

Teoria dei numeri

Corsi attivati quest’anno
Metodi matematici della crittografiaPDF
Teoria algebrica dei numeri 2PDF
Teoria dei numeri elementarePDF

Descrizione area

La teoria dei numeri è un’area molto vasta, all’interno della quale ci si può muovere in direzioni diverse: a fianco dei classici approcci algebrici ed analitici, nella seconda metà del secolo scorso si sono sviluppate connessioni sempre più strette con la geometria algebrica.
Fra le applicazioni principali della teoria dei numeri rivestono poi una particolare importanza quelle legate alla crittografia.

Elenchiamo qui sotto i principali corsi offerti dal dipartimento nell’area della teoria dei numeri e della crittografia. Sono indicati fra parentesi quadre i corsi ad attivazione meno regolare.

I corsi di Teoria algebrica dei numeri 1 e 2 e di Teoria di Galois costituiscono percorsi interconnessi, ma sostanzialmente indipendenti. Possono essere seguiti in qualsiasi ordine, e nel loro insieme offrono una visione coerente della comprensione attuale dell’aritmetica in domini diversi da quello dei numeri interi.

Il corso di teoria di Galois amplia e approfondisce i concetti introdotti nel corso di Algebra 1, concentrandosi in particolare sulla teoria di Galois nel contesto delle estensioni algebriche di grado infinito. Il corso di Teoria algebrica dei numeri 1 si concentra sullo studio delle proprietà aritmetiche dei campi di numeri (estensioni finite del campo dei numeri razionali), esaminando in particolare le generalizzazioni appropriate del concetto di fattorizzazione unica in questo contesto.

Il corso di Teoria algebrica dei numeri 2 si focalizza invece sull’aritmetica dei campi p-adici, strutture ottenute mediante una procedura di passaggio al limite di congruenze modulo potenze di un numero primo p. Nonostante la loro struttura risulti più semplice rispetto a quella dei campi di numeri, l’aritmetica dei campi p-adici fornisce informazioni rilevanti anche per lo studio di questi ultimi.
Infine, il corso di Curve ellittiche introduce questi oggetti (particolari curve algebriche proiettive) ed esamina le interazioni fra le loro proprietà aritmetiche e geometriche. Le curve ellittiche figurano prominentemente anche nel corso di Metodi matematici della crittografia, nel quale viene analizzata in particolare l’interazione fra l’aritmetica delle curve ellittiche e quella dei campi finiti.

Per lo studente interessato a quest’area di ricerca può essere utile frequentare i corsi di Algebra 2 e Istituzioni di algebra, che, pur non essendo prerequisiti stringenti per alcuno dei corsi elencati sotto, forniscono certamente delle solide basi teoriche che possono facilitare la comprensione di altri argomenti.

=== Teoria dei numeri algebrica ===
Teoria dei campi e teoria di Galois
Teoria algebrica dei numeri 1
Teoria algebrica dei numeri 2
Curve ellittiche
[Rappresentazioni di Galois p-adiche]
[Campi ciclotomici]
[Teoria algebrica dei numeri 3]

=== Teoria dei numeri analitica ===
Teoria dei numeri elementare
Teoria analitica dei numeri A
Teoria analitica dei numeri B
[Funzioni L]
[Forme modulari]

=== Applicazioni alla crittografia ===
Metodi matematici della crittografia
[Crittografia post-quantistica]
[Teoria dei codici / Teoria dei codici e crittografia]

Topologia algebrica

Corsi attivati quest’anno
Elementi di topologia algebricaPDF
Gruppi di CoxeterPDF
Topologia algebrica BPDF

Descrizione area

La topologia algebrica si occupa dello studio delle proprietà degli spazi topologici attraverso l’analisi di invarianti descritti da oggetti algebrici. 

Corsi suggeriti in questo contesto sono:

  • Elementi di Topologia Algebrica (terzo anno della laurea triennale)
  • Topologia Algebrica A (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2023/34)
  • Topologia Algebrica B (laurea magistrale)

Mentre il corso di Elementi di Topologia Algebrica offre una prima introduzione generale, il corso Topologia Algebrica A offre un approfondimento rivolto verso la teoria dell’omotopia, e il corso Topologia Algebrica B offre un approfondimento rivolto verso la combinatoria. I due corsi avanzati vengono di solito attivati ad anni alterni.

Molto spesso gli argomenti di topologia algebrica tradizionalmente studiati presso l’Università di Pisa si affacciano verso la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni. Infatti è frequente studiare oggetti topologici nati dalla combinatoria o dalla teoria delle rappresentazioni, così come la combinatoria e le rappresentazioni possono illuminare con un nuovo punto di vista lo studio degli invarianti di oggetti topologici. 

Risulta quindi naturale suggerire alcuni corsi da affiancare a questo percorso:

  • Gruppi e rappresentazioni (terzo anno della laurea triennale)
  • Algebre e gruppi di Lie (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2023/34)
  • Gruppi di Coxeter (laurea magistrale) 

Solitamente il corso di Algebre e gruppi di Lie viene attivato con cadenza biennale.

Topologia e geometria differenziale

Corsi attivati quest’anno
Istituzioni di geometriaPDF
Geometria e topologia differenzialePDF
Geometria iperbolicaPDF
Geometria riemannianaPDF, Video

Area description

Other than the courses listed above, there will be also the following PhD courses:

  • 3-manifolds, decorated triangulations, and quantum invariants
  • Contact geometry
  • Heegaard splittings and handle numbers

Differential geometry and topology is the branch of mathematics that studies differentiable manifolds. A differentiable manifold is, quite informally, a space that looks locally like the Euclidean n-dimensional space, but which may differ from it in terms of global topology. Differentiable manifolds appear quite naturally in all sectors of mathematics: in mathematical physics as spaces of parameters for a given system, or as models for the universe in general relativity; in algebraic geometry as the zero sets of some polynomials, or more generally as (non-singular) complex or real varieties; in geometric analysis as minimisers of some functional, etc.

We may say that the principal goal of differential topology is to classify manifolds and the way they interact, while the main object of differential geometry is to study Riemannian (or Lorentzian) manifolds: these are differential manifolds that, being equipped with a metric tensor, are in fact  supplied with a whole package of familiar geometric notions like geodesics, volume, and curvature. 

Among the various objects of study in this domain we find non-Euclidean geometries (in particular, elliptic and hyperbolic geometries), symplectic and contact structures, knot theory, and the study of low-dimensional manifolds, that is manifolds of dimension up to 4. There are of course many tight connections with algebraic geometry and topology.

At the University of Pisa we offer a first course in Differential Geometry and Topology (Geometria e Topologia differenziale), which introduces the notion of manifolds, with a focus on curves and surfaces in Euclidean space and on degree theory in arbitrary dimension. This course should then be followed by Istituzioni di geometria which introduces various standard general notions on manifolds (bundles, k-forms, De Rham cohomology, metric tensors, Riemannian curvature). The following master courses are then often available, although not every year:

  • Riemannian geometry (Geometria riemanniana)
  • Hyperbolic geometry (Geometria iperbolica)
  • 3-manifolds (3-varietà)
  • 4-manifolds (4-varietà)
  • Knot theory (Teoria dei nodi)
  • Differential topology (Topologia differenziale)

Courses in nearby areas are of course recommended: in particular we strongly suggest to follow Elements of Algebraic Topology (Elementi di Topologia Algebrica), which introduces homology and cohomology. 

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