Presentazione corsi di matematica della magistrale e del terzo anno triennale

Descrizione area

Per gli studenti interessati ad acquisire una formazione avanzata in Analisi Numerica è consigliabile seguire il corso di Calcolo Scientifico (Corso LT/LM, 60 ore, 6 CFU) e il corso di Istituzioni di Analisi Numerica (Corso LM, 72 ore, 11 CFU), che completano la formazione di base conseguita nel corso di Analisi Numerica con Laboratorio.

Successivamente, a seconda degli interessi, è possibile scegliere uno o più corsi specialistici.

Per un percorso orientato alla risoluzione numerica di equazioni differenziali, si consiglia di seguire i corsi:

Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (LT/LM, 48 ore, 6 CFU)
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (LM, 42 ore, 6 CFU)

Per un percorso orientato a specifiche applicazioni dell’algebra lineare numerica a problemi del mondo reale, è possibile scegliere tra i seguenti corsi LM (42 ore, 6 CFU):

Metodi di approssimazione
Metodi numerici per catene di Markov
Metodi numerici per la grafica
Aspetti matematici della computazione quantistica

Area description

Combinatorics studies mainly the existence, contruction, enumeration and description of descrete mathematical structures.

While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its “Renaissance” in the 1960’s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.

Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.

We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.

• Discrete mathematics
• Algebraic combinatorics
• Algebraic topology B
• Coxeter groups
• Groups and representations
• Ultrafilters and nonstandard methods

Other courses with an important combinatorial content are:

• Discrete and continuous models in probability (offered at Scuola Normale Superiore)
• Lie algebras and Lie groups (Algebre e gruppi di Lie)

We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):

• Chromatic symmetric functions: recent advances
• Combinatorial methods in topology
• Combinatorial topology and group theory
• Combinatorics of diagonal coinvariants
• Combinatorics of the flag variety
• Mutually enhancing connections between Ergodic Theory, Combinatorics, and Number Theory

Groups and representations is a fundamental course for Algebraic Combinatorics, which presents the paradigmatic relation between the representation theory of the symmetric group and the corresponding combinatorics.

Coxeter groups is a fundamental course both for Algebraic and Topological Combinatorics, which contains the theory of Coxeter groups, approached from the points of view of Algebra, Combinatorics, Geometry and Topology.

Algebraic topology B is a course in Algebraic Topology, covering advanced topics in Topological Combinatorics, like discrete Morse theory and the theory of hyperplane arrangements.

Ultrafilters and nonstandard methods is an introductory course to the nonstandard methods in Extremal Combinatorics, in particular with applications to Ramsey theory.

Descrizione area

All’interno del piano di studi in Didattica e Storia della Matematica, si evidenziano i percorsi di specializzazione in:

• Didattica della matematica
• Storia della matematica

I corsi “a cavallo” suggeriti per questi percorsi sono:

• Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Aritmetica
• Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore – Geometria

Didattica della Matematica

• Istituzioni di didattica della matematica (obbligatorio)
• Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (laurea magistrale)
• Teorie in didattica della matematica (laurea magistrale)
• Problem Solving (laurea magistrale)
• Tecnologie per la didattica (laurea triennale / laurea magistrale)
• Tirocinio didattico (esperienza di tirocinio nelle scuole)

Storia della Matematica

• Storia della matematica (laurea triennale / laurea magistrale)
• Storia della matematica antica e della sua tradizione (laurea magistrale)
• Origine e sviluppo della matematiche moderne (laurea magistrale)
• Problemi e metodi in storia della matematica (laurea magistrale)

I due corsi di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore intendono offrire una prima prospettiva epistemologica e storica di alcuni concetti di base della Matematica, con qualche spunto di ambito didattico.

Istituzioni di didattica della matematica è il corso base del curriculum didattico che intende condividere gli aspetti di base degli studi in didattica in matematica declinati per i due distinti interessi: ricerca in didattica e insegnamento.

Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica e Teorie in didattica della matematica sono i due corsi specifici per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in didattica della matematica: studiando i problemi, le teorie e gli approcci classici e più innovativi della ricerca in Mathematics Education a livello internazionale.

Tecnologie per la didattica intende mostrare e discutere le potenzialità dell’uso delle tecnologie per l’insegnamento e apprendimento della matematica.

Problem solving intende offrire uno specifico approfondimento dei risultati di ricerca sul problem solving in Mathematics Education.

Il Tirocinio didattico è l’opportunità offerta agli studenti e alle studentesse del curriculum didattico di provare un’esperienza formativa all’interno di scuole secondarie di primo e secondo grado.

Storia della matematica è il corso base per la storia della matematica, nel quale si ripercorrono alcune tappe della nascita del calcolo infinitesimale.

Storia della matematica antica e della sua tradizione e Origine e sviluppo della matematiche moderne sono i due corsi magistrali nei quali si approfondiscono due periodi distinti della storia della matematica.

Problemi e metodi in storia della matematica è il corso specifico per chi è interessato a costruirsi delle competenze specialistiche per la ricerca in storia della matematica.

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All’interno del piano di studi in Geometria, si evidenzia il percorso di specializzazione in Dinamica olomorfa e geometria complessa.
Gli insegnamenti suggeriti per questo percorso sono:

• Elementi di Analisi Complessa (a cavallo fra laurea triennale e laurea
  magistrale)
• Dinamica Olomorfa (laurea magistrale)
• Analisi Complessa B (laurea magistrale)
• Dinamica Iperbolica (laurea magistrale)
  

L’insegnamento di Elementi di Analisi Complessa si innesta sull’insegnamento di Geometria 2 fornendo una presentazione accurata dei principali risultati classici di geometria e analisi complessa di una variabile e un’introduzione all’analisi complessa di più variabili; è un insegnamento obbligatorio per chi sceglie il piano di studi in Geometria nella laurea magistrale.
Durante la laurea magistrale, ogni anno viene proposto un insieme diverso di insegnamenti fra cui scegliere, in modo che nel corso dei due anni lo studente possa crearsi un fondamento solido in dinamica olomorfa o in geometria complessa (o in entrambi gli argomenti).
L’insegnamento di Dinamica olomorfa, importante anche per chi volesse indirizzarsi alla geometria complessa, presenta la dinamica dei polinomi e delle applicazioni razionali in una variabile complessa, dalle basi fino ad argomenti di ricerca contemporanea. Si coordina bene con altri insegnamenti dedicati ai sistemi dinamici offerti nella laurea magistrale. Nell’a.a. 23/24 sarà disponibile l’insegnamento di Dinamica iperbolica, che pur essendo principalmente dedicato a temi di dinamica reale fornisce strumenti, idee e questioni importanti anche in dinamica complessa, confermando l’intrinseca interdisciplinarità del
campo dei sistemi dinamici in generale. Nei prossimi a.a. saranno attivati altri insegnamenti correlati, quali, per esempio, Sistemi dinamici discreti oppure Teoria ergodica.
Per lo studio della geometria complessa (oltre ovviamente a Istituzioni di geometria, che è obbligatorio per tutti i piani di studi in Geometria) è consigliato l’insegnamento di Analisi complessa B, che partendo da uno studio approfondito delle proprietà algebriche dello spazio delle funzioni olomorfe di più variabili arriva a studiare le proprietà geometriche e coomologiche degli spazi analitici. Anche in questo caso ogni a.a. l’offerta di insegnamenti correlati cambia. Nell’a.a. 23/24 altri insegnamenti potenzialmente di interesse sono Geometria algebrica C, che, anche se più da un punto di vista algebrico presenta la teoria di base delle superfici di Riemann, cioè delle varietà complesse di dimensione 1; Geometria algebrica B, in cui viene mostrato come strumenti di analisi complessa possono essere utilizzati per affrontare problemi
di geometria algebrica; e Geometria Riemanniana, che, pur se in un contesto reale, introduce strumenti indispensabili per lo studio delle varietà complesse, hermitiane e kähleriane.

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There will be also the following PhD courses:

p-adic Galois Representations
Quotients and Moduli Spaces

Algebraic geometry started out as the branch of mathematics which studies the geometry of the zero loci of systems of multivariate polynomials (“algebraic varieties”) in affine or projective space. From the very beginning, it was clear that the the key ingredients to study these topics are understanding of the intrinsic properties of the objects, a geometric point of view and a solid algebraic formalism.

Today, algebraic geometry is not primarily concerned with the equations that describe the spaces, but most of the focus is rather on the study of abstract properties and classification of algebraic varieties (and related objects). This is sometimes achieved by assigning to the geometric objects some appropriate algebraic structures or invariants (much as it happens in algebraic topology, for example). The field has strong connections to many other areas of mathematics, for example commutative algebra (which is in some sense the “local” version of algebraic geometry), complex geometry, number theory, representation theory, mathematical physics etc.

Fundamental tools for this study are several theories and languages developed in the XX century, such as the theory of categories, the language of schemes, sheaf theory and vector bundles techniques, among many others.

At the University of Pisa we offer a first course on the Foundations of Algebraic Geometry (Elementi di Geometria Algebrica) and many courses (only some of which are offered in any given year) on several aspects of Algebraic Geometry:

Scheme Theory (Geometria Algebrica A)
Transcendental methods in complex algebraic geometry (Geometria Algebrica B)
Riemann Surfaces and Algebraic curves (Geometria Algebrica C)
Abelian varieties (Geometria Algebrica D)
Complex Algebraic surfaces (Geometria Algebrica E)
Toric geometry (Geometria Algebrica F)
Hodge theory (Geometria Algebrica G)
Complex differential geometry

Descrizione area

Nel piano di studi in Probabilità e Statistica si possono identificare due percorsi principali, complementari e non necessariamente alternativi, focalizzati rispettivamente su:

• Probabilità e analisi stocastica, legato ai temi di ricerca su evoluzioni stocastiche, problemi variazionali in probabilità e processi stocastici per reti di reazioni chimiche;
• Statistica matematica, legato al tema di ricerca su metodi probabilistici in statistical learning.

I corsi

• Probabilità (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o il prima possibile nel corso della laurea magistrale);
• Statistica matematica (consigliato da svolgere nel terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale);

forniscono una preparazione di base rigorosa nei rispettivi ambiti.
I corsi suggeriti per il percorso di Probabilità e analisi stocastica sono:

• Probabilità;
• Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
• corsi avanzati di probabilità:
  • Probabilità superiore;
  • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (attivato nell’anno 2023/24);
  • Processi stocastici;
  • Aspetti matematici nella computazione quantistica (attivato nell’anno 2023/24);

I corsi suggeriti per il percorso Statistica matematica sono:

• Statistica matematica;
• Probabilità;
• Istituzioni di probabilità (consigliato da svolgere nel primo anno della laurea magistrale);
• Statistica Superiore;
• Analisi dei dati;

Probabilità: il corso approfondisce gli aspetti teorici della probabilità quali l’indipendenza, i teoremi limite, ponendoli su un piano generale e rigoroso, e fornisce una prima introduzione alle catene di Markov. Il corso è una imprescindibile tappa sia per un percorso orientato alla probabilità, sia alla statistica.
Statistica matematica: il corso pone le basi rigorose della statistica matematica, quali la teoria degli stimatori, dei test, della statistica Bayesiana che, a sua volta, pone le basi della teoria dell’apprendimento statistico. Il corso è il punto di inizio di un percorso orientato alla statistica, è fortemente consigliato anche per chi è orientato alla probabilità, ma è consigliato anche come interesse generale, perché attualmente la statistica entra in numerosi ambiti, di ricerca, di insegnamento e nel mondo del lavoro. È consigliato seguire questo corso prima di Analisi dei dati.
Istituzioni di probabilità: Il corso introduce concetti fondazionali nell’ambito della probabilità avanzata: processi stocastici (generalmente a tempo continuo) che descrivono fenomeni di evoluzione aleatori: moto browniano, martingale, equazioni differenziali stocastiche.
Corsi avanzati di probabilità: (Probabilità Superiore, Equazioni differenziali stocastiche, Processi stocastici): approfondiscono argomenti avanzati di probabilità, processi stocastici o analisi stocastica. Il programma varia in base all’anno ed ai docenti.
Aspetti matematici nella computazione quantistica: Il corso introduce i concetti base della meccanica quantistica in dimensione finita (quindi richiede solo nozioni di algebra lineare e probabilità elementare). Si focalizza sugli algoritmi quantistici più importanti, come Deutch-Jozsa, Grover e Shor per la fattorizzazione di interi. Infine, si esaminano gli sviluppi più recenti, come gli algoritmi per risolvere sistemi di equazioni lineari, le passeggiate aleatorie quantistiche, con eventuali cenni al machine learning quantistico.
Statistica Superiore: Il corso è una introduzione alle tematiche di base dello statistical learning: regressione lineare, metodi di riduzione dimensionale (PCA), metodi elementari di classificazione, clustering, analisi di serie storiche. Durante il corso è enfatizzata la parte computazionale, svolta per mezzo del software statistico R. Il corso è mutuato da un insegnamento del CdS in Ingegneria Gestionale, seppur con un esame differente, e si svolge presso le aule della scuola di Ingegneria. Non sono richiesti prerequisiti sostanziali oltre ai cenni di statistica già visti nel corso di EPS.
Analisi dei Dati: Il corso prevede una prima parte nella quale si sviluppano alcuni aspetti teorici sui fondamenti della teoria dell’apprendimento automatico. Nella seconda parte si esaminano alcuni dei principali metodi di apprendimento, principalmente focalizzati sul problema della classificazione, dalla regressione lineare alle support vector machines, random forest, reti neurali. È consigliato aver seguito il corso di Statistica Matematica. Il corso di Statistica Superiore non è necessario, ma aiuta (nel caso, andrebbe seguito e sostenuto prima).

Descrizione area

La ricerca operativa è un ambito multidisciplinare che si occupa di sviluppare e analizzare modelli e metodi matematici per la risoluzione di complessi problemi decisionali di natura quantitativa. Da un lato richiede la capacità di sviluppare modelli adeguati ai problemi oggetto di studio, dall’altro richiede lo studio delle proprietà matematiche di classi di modelli e lo sviluppo di metodi computazionali per la loro risoluzione. Poiché l’obiettivo è generalmente quello di individuare soluzioni in qualche senso ottimali per il problema, i modelli piu utilizzati prendono la forma di problemi di ottimizzazione: si tratta pertanto di massimizzare una funzione che rappresenti ad esempio guadagni, rendimenti, prestazioni (od altri benefici), oppure di minimizzare una funzione che rappresenti, ad esempio, spese, perdite, rischi (od altri costi); in entrambi i casi lo studio della funzione è ristretto ad una opportuna regione del suo dominio che viene individuata da opportuni vincoli che descrivono l’insieme delle soluzioni ammissibili per il problema.

Oltre alle applicazioni in campi molto diversi che spaziano, ad esempio, dalla logistica ai trasporti, dalle telecomunicazioni e dalla ricostruzione di segnali alla medicina, dall’economia e dalla finanza alla biologia, la ricerca operativa e l’ottimizzazione hanno forti legami con altre aree della matematica (ad esempio: analisi numerica, calcolo delle variazioni, controllo ottimo, statistica) e dell’informatica (ad esempio: intelligenza artificiale, apprendimento automatico, analisi dei dati, grafica computerizzata).

Sebbene l’ottimizzazione rappresenti una delle aree più antiche della matematica e sia stata codicata e studiata in termini più moderni dagli stessi pionieri del calcolo differenziale, lo studio della teoria e lo sviluppo di metodi risolutivi hanno ricevuto forti impulsi dalle applicazioni in campo industriale, militare ed economico soprattutto a partire degli anni 40 del ventesimo secolo fino a delineare ai giorni nostri una disciplina molto ampia e consolidata.
Il principale obiettivo dei corsi in questa area è fornire un’estesa introduzione alle principali tecniche modellistiche tipiche della ricerca operativa e alle principali classi di problemi di ottimizzazione sia dal punto di vista teorico che algoritmico, nell’ottica di mettere in grado gli studenti di affrontare ulteriori studi in materia anche a livello individuale. L’offerta didattica si articola nei seguenti tre insegnamenti (per una descrizione dettagliata si rimanda alle loro schede di presentazione).

• Ricerca operativa: tecniche di modellazione; ottimizzazione su reti; ottimizzazione lineare e lineare intera.
• Teoria e metodi dell’ottimizzazione: analisi convessa e ottimizzazione nonlineare.
• Teoria dei giochi: problemi decisionali con più decisori (sistemi multiagente), problemi di ottimizzazione interdipendenti ed equilibri.

Descrizione area

I corsi suggeriti per questo percorso sono:

• Sistemi Dinamici (terzo anno della laurea triennale o laurea magistrale)
• Istituzioni di Fisica Matematica (laurea magistrale)
• Fisica Matematica (laurea magistrale)
• Teoria Ergodica (laurea magistrale)
• Meccanica Superiore (laurea magistrale)
• Dinamica Iperbolica (laurea magistrale)

La teoria dei sistemi dinamici si occupa di descrivere le proprietà qualitative dell’azione di un gruppo su uno spazio. Esempi classici sono rappresentati dal flusso di un sistema di equazioni differenziali e dall’iterazione di una funzione, esempi in cui il gruppo che agisce, continuo nel primo caso e discreto
nel secondo, può essere interpretato come un “tempo” e la sua azione determina quindi l’evoluzione temporale di una condizione iniziale. A questi esempi si possono quindi ricondurre i modelli matematici che studiano le evoluzioni di sistemi meccanici, di sistemi biologici, ecc. Sono però esempi di sistemi dinamici anche azioni più astratte, come l’azione di un gruppo di matrici su sé stesso tramite moltiplicazione. Scopo dei corsi indicati è quello di fornire, a partire dalle basi, un’ampia panoramica delle moderne tecniche di studio dei sistemi dinamici, con particolare interesse alla caratterizzazione, anche quantitativa, dei fenomeni di natura caotica (per i curiosi https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory
e https://www.chaos-math.org/it.html) attraverso lo studio di esempi espliciti, ma anche con uno sguardo alle applicazioni al “mondo reale”.

Il corso Sistemi Dinamici è il primo corso che lo studente può seguire, e contiene gli aspetti di base della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e della dinamica discreta dal punto di vista topologico. Durante la laurea magistrale, lo studente può approfondire l’argomento inizialmente con il corso Fisica Matematica, che è pensato come un proseguimento del corso di Istituzioni di Fisica Matematica. Nel corso Fisica Matematica si studia in particolare la dinamica di sistemi vicini all’integrabilità, e si mette in evidenza la relazione tra le soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (e i sistemi meccanici descritti) e la dinamica a tempo discreto. Gli altri corsi di sistemi dinamici della laurea magistrale sono dedicati allo studio delle proprietà topologiche, statistiche e geometriche dei sistemi dinamici discreti, e si useranno anche strumenti dell’analisi funzionale, della teoria della misura e della
geometria differenziale. Si rimanda alla descrizione dei singoli corsi per maggiori dettagli.

I corsi Sistemi Dinamici e Fisica Matematica sono attivati ogni anno. I corsi Teoria Ergodica, Meccanica Superiore e Dinamica Iperbolica vengono invece attivati almeno una volta ogni biennio, in modo da garantire a tutti gli studenti di poterli seguire una volta durante il percorso della laurea magistrale. Inoltre non ci sono particolari propedeuticità tra questi corsi, l’unica indicazione è di seguire il corso Sistemi Dinamici prima degli altri.

Descrizione area

La teoria dei numeri è un’area molto vasta, all’interno della quale ci si può muovere in direzioni diverse: a fianco dei classici approcci algebrici ed analitici, nella seconda metà del secolo scorso si sono sviluppate connessioni sempre più strette con la geometria algebrica.
Fra le applicazioni principali della teoria dei numeri rivestono poi una particolare importanza quelle legate alla crittografia.

Elenchiamo qui sotto i principali corsi offerti dal dipartimento nell’area della teoria dei numeri e della crittografia. Sono indicati fra parentesi quadre i corsi ad attivazione meno regolare.

I corsi di Teoria algebrica dei numeri 1 e 2 e di Teoria di Galois costituiscono percorsi interconnessi, ma sostanzialmente indipendenti. Possono essere seguiti in qualsiasi ordine, e nel loro insieme offrono una visione coerente della comprensione attuale dell’aritmetica in domini diversi da quello dei numeri interi.

Il corso di teoria di Galois amplia e approfondisce i concetti introdotti nel corso di Algebra 1, concentrandosi in particolare sulla teoria di Galois nel contesto delle estensioni algebriche di grado infinito. Il corso di Teoria algebrica dei numeri 1 si concentra sullo studio delle proprietà aritmetiche dei campi di numeri (estensioni finite del campo dei numeri razionali), esaminando in particolare le generalizzazioni appropriate del concetto di fattorizzazione unica in questo contesto.

Il corso di Teoria algebrica dei numeri 2 si focalizza invece sull’aritmetica dei campi p-adici, strutture ottenute mediante una procedura di passaggio al limite di congruenze modulo potenze di un numero primo p. Nonostante la loro struttura risulti più semplice rispetto a quella dei campi di numeri, l’aritmetica dei campi p-adici fornisce informazioni rilevanti anche per lo studio di questi ultimi.
Infine, il corso di Curve ellittiche introduce questi oggetti (particolari curve algebriche proiettive) ed esamina le interazioni fra le loro proprietà aritmetiche e geometriche. Le curve ellittiche figurano prominentemente anche nel corso di Metodi matematici della crittografia, nel quale viene analizzata in particolare l’interazione fra l’aritmetica delle curve ellittiche e quella dei campi finiti.

Per lo studente interessato a quest’area di ricerca può essere utile frequentare i corsi di Algebra 2 e Istituzioni di algebra, che, pur non essendo prerequisiti stringenti per alcuno dei corsi elencati sotto, forniscono certamente delle solide basi teoriche che possono facilitare la comprensione di altri argomenti.

=== Teoria dei numeri algebrica ===
Teoria dei campi e teoria di Galois
Teoria algebrica dei numeri 1
Teoria algebrica dei numeri 2
Curve ellittiche
[Rappresentazioni di Galois p-adiche]
[Campi ciclotomici]
[Teoria algebrica dei numeri 3]

=== Teoria dei numeri analitica ===
Teoria dei numeri elementare
Teoria analitica dei numeri A
Teoria analitica dei numeri B
[Funzioni L]
[Forme modulari]

=== Applicazioni alla crittografia ===
Metodi matematici della crittografia
[Crittografia post-quantistica]
[Teoria dei codici / Teoria dei codici e crittografia]

Descrizione area

La topologia algebrica si occupa dello studio delle proprietà degli spazi topologici attraverso l’analisi di invarianti descritti da oggetti algebrici. 

Corsi suggeriti in questo contesto sono:

• Elementi di Topologia Algebrica (terzo anno della laurea triennale)
• Topologia Algebrica A (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2023/34)
• Topologia Algebrica B (laurea magistrale)

Mentre il corso di Elementi di Topologia Algebrica offre una prima introduzione generale, il corso Topologia Algebrica A offre un approfondimento rivolto verso la teoria dell’omotopia, e il corso Topologia Algebrica B offre un approfondimento rivolto verso la combinatoria. I due corsi avanzati vengono di solito attivati ad anni alterni.

Molto spesso gli argomenti di topologia algebrica tradizionalmente studiati presso l’Università di Pisa si affacciano verso la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni. Infatti è frequente studiare oggetti topologici nati dalla combinatoria o dalla teoria delle rappresentazioni, così come la combinatoria e le rappresentazioni possono illuminare con un nuovo punto di vista lo studio degli invarianti di oggetti topologici. 

Risulta quindi naturale suggerire alcuni corsi da affiancare a questo percorso:

• Gruppi e rappresentazioni (terzo anno della laurea triennale)
• Algebre e gruppi di Lie (laurea magistrale – NON attivato per l’AA. 2023/34)
• Gruppi di Coxeter (laurea magistrale) 

Solitamente il corso di Algebre e gruppi di Lie viene attivato con cadenza biennale.

Area description

Other than the courses listed above, there will be also the following PhD courses:

• 3-manifolds, decorated triangulations, and quantum invariants
• Contact geometry
• Heegaard splittings and handle numbers

Differential geometry and topology is the branch of mathematics that studies differentiable manifolds. A differentiable manifold is, quite informally, a space that looks locally like the Euclidean n-dimensional space, but which may differ from it in terms of global topology. Differentiable manifolds appear quite naturally in all sectors of mathematics: in mathematical physics as spaces of parameters for a given system, or as models for the universe in general relativity; in algebraic geometry as the zero sets of some polynomials, or more generally as (non-singular) complex or real varieties; in geometric analysis as minimisers of some functional, etc.

We may say that the principal goal of differential topology is to classify manifolds and the way they interact, while the main object of differential geometry is to study Riemannian (or Lorentzian) manifolds: these are differential manifolds that, being equipped with a metric tensor, are in fact  supplied with a whole package of familiar geometric notions like geodesics, volume, and curvature. 

Among the various objects of study in this domain we find non-Euclidean geometries (in particular, elliptic and hyperbolic geometries), symplectic and contact structures, knot theory, and the study of low-dimensional manifolds, that is manifolds of dimension up to 4. There are of course many tight connections with algebraic geometry and topology.

At the University of Pisa we offer a first course in Differential Geometry and Topology (Geometria e Topologia differenziale), which introduces the notion of manifolds, with a focus on curves and surfaces in Euclidean space and on degree theory in arbitrary dimension. This course should then be followed by Istituzioni di geometria which introduces various standard general notions on manifolds (bundles, k-forms, De Rham cohomology, metric tensors, Riemannian curvature). The following master courses are then often available, although not every year:

• Riemannian geometry (Geometria riemanniana)
• Hyperbolic geometry (Geometria iperbolica)
• 3-manifolds (3-varietà)
• 4-manifolds (4-varietà)
• Knot theory (Teoria dei nodi)
• Differential topology (Topologia differenziale)

Courses in nearby areas are of course recommended: in particular we strongly suggest to follow Elements of Algebraic Topology (Elementi di Topologia Algebrica), which introduces homology and cohomology.